পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নিবেশনের চলকের মানসমূহ হতে তাদের গাণিতিক গড় বা অন্য কোনো নির্দিষ্ট মানের ব্যবধানের বিভিন্ন ঘাতের গড় মানকে পরিঘাত (Moment) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\beta_1 > 0$ দ্বারা নিবেশনটি ধনাত্মক বা ডান-বঙ্কিম (positively skewed) বোঝায়।
   বঙ্কিমতার পরিমাপক $\beta_1 = \frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}$ সর্বদা অঋণাত্মক হয় এবং এর বর্গমূল $\gamma_1 = \sqrt{\beta_1}$ দ্বারা বঙ্কিমতার প্রকৃতি নির্ধারিত হয়। যখন $\beta_1 > 0$ বা নিবেশনের তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত $\mu_3 > 0$ হয়, তখন নিবেশনটির ডানদিকের লেজ বামদিকের লেজের তুলনায় বেশি প্রসারিত থাকে এবং গড় > মধ্যমা > প্রচুরক সম্পর্ক বজায় থাকে। একে ধনাত্মক বঙ্কিম নিবেশন বলে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   গড়, $\bar{x} = 25$
   মধ্যমা, $Me = 20$
   বিভেদাঙ্ক, $CV = 50\%$

   আমরা জানি,
   $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%$
   $\Rightarrow 50 = \frac{\sigma}{25} \times 100$
   $\Rightarrow \sigma = \frac{50 \times 25}{100} = 12.5$

   অতএব, ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = (12.5)^2 = 156.25$

   আবার, গড়, মধ্যমা ও প্রচুরকের মধ্যকার অভিজ্ঞতালব্ধ (Empirical) সম্পর্ক হতে,
   প্রচুরক ($Mo$) $\approx 3 \times \text{মধ্যমা} - 2 \times \text{গড়}$
   $\Rightarrow Mo = 3 \times 20 - 2 \times 25$
   $\Rightarrow Mo = 60 - 50 = 10$

   অতএব, নিবেশনের ভেদাঙ্ক ১৫৬.২৫ এবং প্রচুরক ১০।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত, $\mu_4 = 202$
   (গ) হতে প্রাপ্ত, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত বা ভেদাঙ্ক, $\mu_2 = \sigma^2 = 156.25$

   আমরা জানি, সূচালতা গুণাঙ্ক,
   $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2}$
   $\Rightarrow \beta_2 = \frac{202}{(156.25)^2}$
   $\Rightarrow \beta_2 = \frac{202}{24414.0625} \approx 0.0083$

   অথবা অতিরিক্ত সূচালতা,
   $\gamma_2 = \beta_2 - 3 = 0.0083 - 3 = -2.9917$

   মন্তব্য:
   যেহেতু $\beta_2 < 3$ (বা $\gamma_2 < 0$), সুতরাং উদ্দীপকের নিবেশনটি অনতিসূঁচালো বা চ্যাপ্টা (Platykurtic)। অর্থাৎ নিবেশনটির শীর্ষভাগ পরিমিত নিবেশনের তুলনায় অধিক সমতল বা চ্যাপ্টা।