পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির মানগুলো থেকে অনুমিত গড় বা যেকোনো ধ্রুবকের সাপেক্ষে নির্ণীত পরিঘাতকে অশোধিত পরিঘাত বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বঙ্কিমতাবিহীন নিবেশন হলো একটি সুষম বা প্রতিসম (Symmetric) নিবেশন। যে নিবেশনের গণসংখ্যা রেখা বা বহুভুজটি মধ্যম বিন্দু বা গড়ের উভয় পাশে সমভাবে বিন্যস্ত থাকে এবং যার বঙ্কিমতাঙ্ক শূন্য (sk = 0), তাকে সুষম নিবেশন বলা হয়। এ ধরনের নিবেশনে গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক পরস্পর সমান হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে অনুমিত গড়, a = 2 এর সাপেক্ষে প্রথম চারটি অশোধিত পরিঘাত দেওয়া আছে:
   μ'₁ = 1
   μ'₂ = 5
   μ'₃ = -10
   μ'₄ = 112

   আমরা জানি, ভেদাঙ্ক হলো দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত (μ₂)।
   অশোধিত পরিঘাতের সাপেক্ষে দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের সূত্র:
   μ₂ = μ'₂ - (μ'₁)²

   মান বসিয়ে পাই:
   μ₂ = 5 - (1)² = 5 - 1 = 4

   অতএব, নির্ণেয় ভেদাঙ্ক = 4।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নিবেশন অতি সূঁচাল কি না তা যাচাই করার জন্য সূঁচালতা গুণাঙ্ক (β₂ অথবা γ₂) নির্ণয় করতে হয়।

   আমরা জানি, চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত:
   μ₄ = μ'₄ - 4μ'₃μ'₁ + 6μ'₂(μ'₁)² - 3(μ'₁)⁴

   মান বসিয়ে পাই:
   μ₄ = 112 - 4(-10)(1) + 6(5)(1)² - 3(1)⁴
   = 112 + 40 + 30 - 3
   = 182 - 3 = 179

   'গ' হতে পাই, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত, μ₂ = 4

   সূঁচালতা গুণাঙ্ক (β₂):
   β₂ = μ₄ / (μ₂)²
   = 179 / (4)²
   = 179 / 16
   = 11.1875

   যেহেতু β₂ > 3 (অথবা γ₂ = β₂ - 3 = 8.1875 > 0), সেহেতু নিবেশনটি অতি সূঁচাল (Leptokurtic)।
   অতএব, উদ্দীপকে উল্লিখিত নিবেশনটি অতি সূঁচাল- মন্তব্যটি গাণিতিকভাবে প্রমাণিত ও সঠিক।