উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $x = \log_e y$।
তাহলে, $e^x = y$ এবং $e^{-x} = \frac{1}{y}$।

আমরা জানি,
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

উভয় সমীকরণ যোগ করে পাই:
$e^x + e^{-x} = 2 \left[ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \right]$

এখন $e^x = y$, $e^{-x} = \frac{1}{y}$ এবং $x = \log_e y$ বসিয়ে পাই:
$y + \frac{1}{y} = 2 \left[ 1 + \frac{(\log_e y)^2}{2!} + \frac{(\log_e y)^4}{4!} + \dots \right]$
(প্রমাণিত)