উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত • Bangladesh University of Engineering and Technology • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০০১-২০০২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

14.

β ও α দুইটি ধনাত্মক সূক্ষকোণ এবং cos⁡2α=3cos⁡2β−13−cos⁡2β\cos 2\alpha = \frac{3 \cos 2\beta - 1}{3 - \cos 2\beta}, হলে,প্রমাণ কর যে,tan⁡α=2tan⁡β\tan \alpha = \sqrt{2} \tan \beta

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
cos⁡2α=3cos⁡2β−13−cos⁡2β\cos 2\alpha = \frac{3\cos 2\beta - 1}{3 - \cos 2\beta}

বিয়োজন-যোজন করে পাই,
1−cos⁡2α1+cos⁡2α=(3−cos⁡2β)−(3cos⁡2β−1)(3−cos⁡2β)+(3cos⁡2β−1)\frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{(3 - \cos 2\beta) - (3\cos 2\beta - 1)}{(3 - \cos 2\beta) + (3\cos 2\beta - 1)}

  ⟹  2sin⁡2α2cos⁡2α=3−cos⁡2β−3cos⁡2β+13−cos⁡2β+3cos⁡2β−1\implies \frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{3 - \cos 2\beta - 3\cos 2\beta + 1}{3 - \cos 2\beta + 3\cos 2\beta - 1}

  ⟹  tan⁡2α=4−4cos⁡2β2+2cos⁡2β\implies \tan^2\alpha = \frac{4 - 4\cos 2\beta}{2 + 2\cos 2\beta}

  ⟹  tan⁡2α=4(1−cos⁡2β)2(1+cos⁡2β)\implies \tan^2\alpha = \frac{4(1 - \cos 2\beta)}{2(1 + \cos 2\beta)}

  ⟹  tan⁡2α=2⋅2sin⁡2β2cos⁡2β\implies \tan^2\alpha = 2 \cdot \frac{2\sin^2\beta}{2\cos^2\beta}

  ⟹  tan⁡2α=2tan⁡2β\implies \tan^2\alpha = 2\tan^2\beta

যেহেতু α\alpha ও β\beta উভয়ই ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ, তাই tan⁡α>0\tan\alpha > 0 এবং tan⁡β>0\tan\beta > 0।

উভয়পক্ষে ধনাত্মক বর্গমূল নিয়ে পাই,
tan⁡α=2tan⁡β\tan\alpha = \sqrt{2}\tan\beta

(প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন