$\int x \sin(x^2) \cos(x^2) dx$ = ?

Question

Accepted Answer

গ. Both (a) and (b)

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমাকলনটি হলো:
$$I = \int x \sin(x^2) \cos(x^2) dx$$

ধরি, $t = x^2$
$\implies dt = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2} dt$

তাহলে,
$$I = \frac{1}{2} \int \sin(t) \cos(t) dt$$

**পদ্ধতি ১:**
ধরি, $u = \sin(t) \implies du = \cos(t) dt$
$$I = \frac{1}{2} \int u \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{1}{4} \sin^2(t) + c = \frac{1}{4} \sin^2(x^2) + c$$
যা অপশন (1)-এর সাথে মেলে।

**পদ্ধতি ২:**
ধরি, $v = \cos(t) \implies dv = -\sin(t) dt$
$$I = -\frac{1}{2} \int v \, dv = -\frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{2} + c' = -\frac{1}{4} \cos^2(t) + c' = -\frac{1}{4} \cos^2(x^2) + c'$$
যা অপশন (2)-এর সাথে মেলে।

যেহেতু $\frac{1}{4}\sin^2(x^2) = \frac{1}{4}(1 - \cos^2(x^2)) = -\frac{1}{4}\cos^2(x^2) + \frac{1}{4}$, দুটি ফলাফলই কেবল ধ্রুবক মানে ভিন্ন (যা সমাকলন ধ্রুবক $c$-এর মধ্যে সমন্বয় করা যায়)। সুতরাং (a) ও (b) উভয় রূপই সঠিক।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো Option 3 (Both (a) and (b))।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন