A water tank has the shape of an upside-down cone with radius $2 ext{m}$ and height $5 ext{m}$ . The water is running out of the tank through a small hole at the bottom at a speed proportional to the square root of the depth of the water in the tank. Suppose that the water is running out at a rate of $3 ext{ m}^3/ ext{min}$ when the depth of the water in the tank is $4 ext{m}$ . Find the rate at which the water level is changing at this moment.

![](https://files.utsaho.bd/v1/files/1c0fb5cd-8e36-4140-9cf6-415a5c185807)

Question

A water tank has the shape of an upside-down cone with radius $2\text{m}$ and height $5\text{m}$ . The water is running out of the tank through a small hole at the bottom at a speed proportional to the square root of the depth of the water in the tank. Suppose that the water is running out at a rate of $3 \text{ m}^3/\text{min}$ when the depth of the water in the tank is $4\text{m}$ . Find the rate at which the water level is changing at this moment.

![](https://files.utsaho.bd/v1/files/1c0fb5cd-8e36-4140-9cf6-415a5c185807)

Accepted Answer

খ. $75/(64\pi)$

ব্যাখ্যা: কৌণিক ট্যাংকের (উল্টানো শঙ্কু) শীর্ষবিন্দু নিচে অবস্থিত। এর ভূমির ব্যাসার্ধ $R = 2	ext{ m}$ এবং উচ্চতা $H = 5	ext{ m}$।

যেকোনো মুহূর্তে পানির গভীরতা $h$ হলে, পানির ওপরিতলের ব্যাসার্ধ $r$ হবে সদৃশ ত্রিভুজের নিয়মানুযায়ী:
$$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{2}{5} \implies r = \frac{2}{5}h$$

পানির আয়তন $V$ হবে:
$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{2}{5}hight)^2 h = \frac{4\pi}{75}h^3$$

সময়ের সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই:
$$\frac{dV}{dt} = \frac{4\pi}{75} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{4\pi}{25}h^2 \frac{dh}{dt}$$

প্রদত্ত মুহূর্তে পানির গভীরতা $h = 4	ext{ m}$ এবং পানি বের হয়ে যাওয়ার হার $\frac{dV}{dt} = -3	ext{ m}^3/	ext{min}$। মান বসিয়ে পাই:
$$-3 = \frac{4\pi}{25}(4)^2 \frac{dh}{dt}$$
$$-3 = \frac{64\pi}{25} \frac{dh}{dt}$$
$$\frac{dh}{dt} = -\frac{75}{64\pi}	ext{ m/min}$$

অতএব, পানির স্তর পরিবর্তনের হার (কমে যাওয়ার হার) হলো $\frac{75}{64\pi}	ext{ m/min}$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন