উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: (খ) প্রশ্নে মুদ্রণজনিত কারণে '৩ একক' স্থলে 'ও একক' মুদ্রিত হয়েছে; '৩ একক' ধরে সমাধান করা হয়েছে।

   ধরি, বিন্দুদ্বয় $P(3, 5)$ এবং $Q(6, 7)$।
   $PQ$ রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{7 - 5}{6 - 3} = \frac{2}{3}$

   আমরা জানি, দুটি পরস্পর লম্ব রেখার ঢালের গুণফল $-1$।
   অতএব, $PQ$ রেখার লম্ব দ্বিখণ্ডকের ঢাল $m_2$ হলে,
   $m_1 \times m_2 = -1$
   $\Rightarrow m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$ (উত্তর)

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: (খ) প্রশ্নে মুদ্রণজনিত কারণে '৩ একক' স্থলে 'ও একক' মুদ্রিত হয়েছে; '৩ একক' ধরে সমাধান করা হয়েছে।

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী, $A$ ও $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(4, 0)$ এবং $(0, 3)$।
   $AB$ রেখার সমীকরণ:
   $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$
   $\Rightarrow 3x + 4y - 12 = 0$ .... (i)

   প্রশ্নমতে, 'ও একক' মুদ্রণ প্রমাদটি '৩ একক' ধরে,
   $AB$ রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   $3x + 4y + k = 0$ .... (ii)

   (i) ও (ii) নং সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   $\frac{|k - (-12)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 3$
   $\Rightarrow \frac{|k + 12|}{\sqrt{9 + 16}} = 3$
   $\Rightarrow \frac{|k + 12|}{5} = 3$
   $\Rightarrow |k + 12| = 15$
   $\Rightarrow k + 12 = \pm 15$

   (+) চিহ্ন নিয়ে, $k = 15 - 12 = 3$
   (-) চিহ্ন নিয়ে, $k = -15 - 12 = -27$

   অতএব, নির্ণেয় সমান্তরাল রেখার সমীকরণদ্বয়:
   $3x + 4y + 3 = 0$ এবং $3x + 4y - 27 = 0$ (উত্তর)

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: (খ) প্রশ্নে মুদ্রণজনিত কারণে '৩ একক' স্থলে 'ও একক' মুদ্রিত হয়েছে; '৩ একক' ধরে সমাধান করা হয়েছে।

   উদ্দীপক হতে, মূলবিন্দু $O(0, 0)$, $A(4, 0)$ এবং $B(0, 3)$।
   ধরি, $AB$ রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় $P$ ও $Q$।
   $P$ বিন্দুটি $AB$ রেখাংশকে $1:2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
   $P$ এর স্থানাঙ্ক $= \left(\frac{1\times 0 + 2\times 4}{1+2}, \frac{1\times 3 + 2\times 0}{1+2}\right) = \left(\frac{8}{3}, 1\right)$

   $Q$ বিন্দুটি $AB$ রেখাংশকে $2:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
   $Q$ এর স্থানাঙ্ক $= \left(\frac{2\times 0 + 1\times 4}{2+1}, \frac{2\times 3 + 1\times 0}{2+1}\right) = \left(\frac{4}{3}, 2\right)$

   এখন, $O(0, 0)$, $P\left(\frac{8}{3}, 1\right)$ এবং $Q\left(\frac{4}{3}, 2\right)$ বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত $\triangle OPQ$ এর ক্ষেত্রফল:
   $= \frac{1}{2} \left| 0(1 - 2) + \frac{8}{3}(2 - 0) + \frac{4}{3}(0 - 1) \right|$
   $= \frac{1}{2} \left| \frac{16}{3} - \frac{4}{3} \right|$
   $= \frac{1}{2} \times \frac{12}{3}$
   $= \frac{1}{2} \times 4 = 2$ বর্গ একক। (উত্তর)