পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাসে প্রতিটি চেষ্টা স্বাধীন, চেষ্টার সংখ্যা নির্দিষ্ট এবং প্রতিটি চেষ্টার ফলাফল কেবল দুটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা—সাফল্য ও বিফলতা প্রদান করে, তাকে দ্বিপদী বিন্যাস বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী চলকের গড় হলো $E(X) = np$ এবং ভেদাঙ্ক হলো $Var(X) = npq$।
   যেহেতু বিফলতার সম্ভাবনা $q$ এর মান সর্বদা ০ ও ১ এর মধ্যে থাকে ($0 < q < 1$), সেহেতু $npq < np$ হয়। অর্থাৎ, দ্বিপদী বিন্যাসের ভেদাঙ্ক সর্বদা এর গড় অপেক্ষা ছোট হয় ($Var(X) < E(X)$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   মোট চেষ্টার সংখ্যা, $n = 10$
   প্রতিবার লক্ষ্যবিন্দু ভেদ করার সম্ভাবনা (সাফল্য), $p = \frac{2}{4} = 0.5$
   বিফলতার সম্ভাবনা, $q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5$

   ধরি, $X$ হলো লক্ষ্যবিন্দু ভেদ করার সংখ্যা। সুতরাং $X \sim b(n=10, p=0.5)$।
   দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = \binom{10}{x} (0.5)^x (0.5)^{10-x} = \binom{10}{x} (0.5)^{10} = \binom{10}{x} \frac{1}{1024}$

   কমপক্ষে ৩টি লক্ষ্যবিন্দু ভেদ করার সম্ভাবনা:
   $P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

   এখানে,
   $P(X=0) = \binom{10}{0} (0.5)^{10} = 1 \times \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}$
   $P(X=1) = \binom{10}{1} (0.5)^{10} = 10 \times \frac{1}{1024} = \frac{10}{1024}$
   $P(X=2) = \binom{10}{2} (0.5)^{10} = 45 \times \frac{1}{1024} = \frac{45}{1024}$

   অতএব,
   $P(X < 3) = \frac{1 + 10 + 45}{1024} = \frac{56}{1024} = \frac{7}{128} \approx 0.0547$

   সুতরাং,
   $P(X \ge 3) = 1 - \frac{56}{1024} = \frac{968}{1024} = \frac{121}{128} \approx 0.9453$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে, দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতিদ্বয় $n = 10$ এবং $p = 0.5$ ($q = 0.5$)।

   ১. বঙ্কিমতা পরিমাপক:
   দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক,
   $\gamma_1 = \frac{q - p}{\sqrt{npq}} = \frac{0.5 - 0.5}{\sqrt{10 \times 0.5 \times 0.5}} = \frac{0}{\sqrt{2.5}} = 0$

   আকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য: যেহেতু বঙ্কিমতাঙ্ক $\gamma_1 = 0$, সুতরাং বিন্যাসটি সম্পূর্ণ প্রতিসম (Symmetric)।

   ২. সূচালতা পরিমাপক:
   দ্বিপদী বিন্যাসের সূচালতাঙ্ক,
   $\gamma_2 = \frac{1 - 6pq}{npq} = \frac{1 - 6(0.5)(0.5)}{10 \times 0.5 \times 0.5} = \frac{1 - 1.5}{2.5} = \frac{-0.5}{2.5} = -0.2$
   (অথবা $\beta_2 = 3 + \gamma_2 = 3 - 0.2 = 2.8 < 3$)

   প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য: যেহেতু অতিরিক্ত সূচালতাঙ্ক $\gamma_2 < 0$ (বা $\beta_2 < 3$), তাই বিন্যাসটি অনতিসূঁচাল বা চ্যাপ্টা প্রকৃতির (Platykurtic)।

   সামগ্রিক মতামত: উদ্দীপকের চলকটির বিন্যাস একটি প্রতিসম (Symmetric) এবং অনতিসূঁচাল (Platykurtic) বিন্যাস।