পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাবিন্দুর সাথে সম্পর্কযুক্ত যে চলক নির্দিষ্ট বাস্তব মান গ্রহণ করে এবং যার প্রতিটি মানের সাথে একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা সংশ্লিষ্ট থাকে, তাকে দৈব চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা (H) নির্দেশকারী চলক একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক।
   কারণ, একটি মুদ্রা n বার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য মাথার সংখ্যা হতে পারে ০, ১, ২, ..., n। এই মানগুলো গণনাসংযোগ এবং বিচ্ছিন্ন মানের সমষ্টি। চলকটি কেবল নির্দিষ্ট কিছু পৃথক পৃথক পূর্ণসংখ্যা মান গ্রহণ করতে পারে, কোনো অবিচ্ছিন্ন সীমা বা ভগ্নাংশ মান নিতে পারে না। তাই এটি একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, কোনো দৈব চলকের মোট সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হয়।
   অতএব, $\sum P(x) = 1$
   $\Rightarrow P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 1$
   $\Rightarrow \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + 3k + 2k + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = 1$
   $\Rightarrow \left(\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10}\right) + 5k = 1$
   $\Rightarrow \frac{6}{10} + 5k = 1$
   $\Rightarrow \frac{3}{5} + 5k = 1$
   $\Rightarrow 5k = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
   $\Rightarrow k = \frac{2}{25} = 0.08$

   এখন,
   $P(1 \le x \le 4) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4)$
   $= \frac{1}{5} + 3k + 2k + \frac{1}{5}$
   $= \frac{2}{5} + 5k$
   $= \frac{2}{5} + 5 \times \frac{2}{25} = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$

   অতএব, $P(1 \le x \le 4) = \frac{4}{5}$ বা $0.8$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সংজ্ঞানুসারে, ক্রমযোজিত সম্ভাবনা অপেক্ষক $F(x) = P(X \le x)$।
   'গ' হতে পাই, $k = \frac{2}{25} = 0.08$
   এবং $P(1 \le x \le 4) = \frac{4}{5} = 0.8$

   এখন,
   $F(4) = P(x \le 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)$
   $= 1 - P(5) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0.9$

   এবং
   $F(1) = P(x \le 1) = P(0) + P(1) = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3}{10} = 0.3$

   অতএব,
   $F(4) - F(1) = 0.9 - 0.3 = 0.6 = \frac{3}{5}$

   যেহেতু বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের ক্ষেত্রে,
   $P(1 \le x \le 4) = 0.8$ এবং $F(4) - F(1) = 0.6$,
   সুতরাং $P(1 \le x \le 4) \ne F(4) - F(1)$।
   [উল্লেখ্য, বিচ্ছিন্ন চলকে $P(1 \le x \le 4) = F(4) - F(0)$ হয়, কিন্তু $F(4) - F(1) = P(2 \le x \le 4)$ নির্দেশ করে।]
   অতএব, উদ্দীপকের আলোকে $P(1 \le x \le 4) = F(4) - F(1)$ উক্তিটি সঠিক নয়।