পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো সমগ্রকের বৈশিষ্ট্যের সংখ্যাত্মক পরিমাপকে পরামিতি (Parameter) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নমুনাজমান বা নমুনাজ পরিসংখ্যান (Statistic) পাওয়া যায় একটি নির্বাচিত নমুনা থেকে, আর সমগ্রকের ফলাফল বা পরামিতি পাওয়া যায় পুরো সমগ্রক পর্যবেক্ষণ করে। নমুনা হলো সমগ্রকের একটি ক্ষুদ্র উপসেট, তাই নমুনার মান এবং সমগ্রকের প্রকৃত মানের মধ্যে যে বিচ্যুতি দেখা যায় তা প্রধানত নমুনাভ্রান্তির (Sampling error) কারণে হয়ে থাকে। নমুনা নির্বাচনের ভিন্নতা এবং দৈবচয়নের স্বাভাবিক বিচ্যুতির ফলেই সাধারণত নমুনাজমান ও সমগ্রকের ফলাফলের মধ্যে পার্থক্য পরিলক্ষিত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, সমগ্রকের উপাদান সংখ্যা $N = 4$ এবং মানগুলো হলো: ১, ২, ৩, ৪।
   নমুনার আকার $n = 2$।
   পুনঃস্থাপন করে (With replacement) নির্বাচন করা হলে মোট সম্ভাব্য নমুনার সংখ্যা হবে $N^n = 4^2 = 16$ টি।
   নমুনাগুলো নিম্নরূপ:
   (১, ১), (১, ২), (১, ৩), (১, ৪)
   (২, ১), (২, ২), (২, ৩), (২, ৪)
   (৩, ১), (৩, ২), (৩, ৩), (৩, ৪)
   (৪, ১), (৪, ২), (৪, ৩), (৪, ৪)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   শিক্ষকের বক্তব্য: "নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান সমগ্রক গড়ের সমান।"
   আমি শিক্ষকের বক্তব্যটি সম্পূর্ণ সমর্থন করি। নিম্নে এর গাণিতিক সত্যতা যাচাই করা হলো:

   সমগ্রকের মানগুলো: ১, ২, ৩, ৪ ($N = 4$)
   সমগ্রক গড়, $\mu = \frac{\sum X}{N} = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

   পুনঃস্থাপন করে নির্বাচিত ১৬টি নমুনার গড় ($\bar{x}$) নিম্নরূপ:
   ১. (১, ১) $\rightarrow 1.0$
   ২. (১, ২) $\rightarrow 1.5$
   ৩. (১, ৩) $\rightarrow 2.0$
   ৪. (১, ৪) $\rightarrow 2.5$
   ৫. (২, ১) $\rightarrow 1.5$
   ৬. (২, ২) $\rightarrow 2.0$
   ৭. (২, ৩) $\rightarrow 2.5$
   ৮. (২, ৪) $\rightarrow 3.0$
   ৯. (৩, ১) $\rightarrow 2.0$
   ১০. (৩, ২) $\rightarrow 2.5$
   ১১. (৩, ৩) $\rightarrow 3.0$
   ১২. (৩, ৪) $\rightarrow 3.5$
   ১৩. (৪, ১) $\rightarrow 2.5$
   ১৪. (৪, ২) $\rightarrow 3.0$
   ১৫. (৪, ৩) $\rightarrow 3.5$
   ১৬. (৪, ৪) $\rightarrow 4.0$

   নমুনা গড়গুলোর সমষ্টি $\sum \bar{x} = 1.0 + 1.5 + 2.0 + 2.5 + 1.5 + 2.0 + 2.5 + 3.0 + 2.0 + 2.5 + 3.0 + 3.5 + 2.5 + 3.0 + 3.5 + 4.0 = 40$

   নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান, $E(\bar{x}) = \frac{\sum \bar{x}}{k} = \frac{40}{16} = 2.5$

   দেখা যাচ্ছে যে, $E(\bar{x}) = \mu = 2.5$।
   অতএব, শিক্ষকের বক্তব্যটি গাণিতিকভাবে প্রমাণিত ও সঠিক।