উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-১-এ বলত্রয় ত্রিভুজটির বাহু বরাবর একই ক্রমে (cyclic order: BC, CA, AB) সমান্তরালে ক্রিয়া করছে।

   দেওয়া আছে, বলদ্বয়ের মান $P = 8\text{ N}$, $Q = 5\text{ N}$ এবং মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 60^{\circ}$।

   আমরা জানি, লব্ধি $R$ হলে,
   $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\alpha}$
   $R = \sqrt{8^2 + 5^2 + 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^{\circ}}$
   $R = \sqrt{64 + 25 + 80 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{89 + 40} = \sqrt{129}\text{ N} \approx 11.36\text{ N}$

   উত্তর: বলদ্বয়ের লব্ধির মান $\sqrt{129}\text{ N}$ (বা প্রায় $11.36\text{ N}$)।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-১-এ বলত্রয় ত্রিভুজটির বাহু বরাবর একই ক্রমে (cyclic order: BC, CA, AB) সমান্তরালে ক্রিয়া করছে।

   ধরি, $BC$ বাহু বরাবর ধনাত্মক $x$-অক্ষ বিবেচনা করি।
   যেহেতু $ABC$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ, এর প্রতিটি কোণ $60^{\circ}$।
   ক্রমানুসারে বাহুগুলোর সমান্তরালে বলত্রয় ক্রিয়ারত থাকায়:

   • $BC$-এর সমান্তরালে $5$ একক বল ধনাত্মক $x$-অক্ষের সাথে $0^{\circ}$ কোণ তৈরি করে।
   • $CA$-এর সমান্তরালে $7$ একক বল ধনাত্মক $x$-অক্ষের সাথে $(180^{\circ} - 60^{\circ}) = 120^{\circ}$ কোণ তৈরি করে।
   • $AB$-এর সমান্তরালে $9$ একক বল ধনাত্মক $x$-অক্ষের সাথে $(180^{\circ} + 60^{\circ}) = 240^{\circ}$ কোণ তৈরি করে।

   $x$-অক্ষ বরাবর উপাংশের সমষ্টি,
   $X = 5\cos 0^{\circ} + 7\cos 120^{\circ} + 9\cos 240^{\circ}$
   $X = 5(1) + 7\left(-\frac{1}{2}\right) + 9\left(-\frac{1}{2}\right) = 5 - \frac{16}{2} = 5 - 8 = -3$

   $y$-অক্ষ বরাবর উপাংশের সমষ্টি,
   $Y = 5\sin 0^{\circ} + 7\sin 120^{\circ} + 9\sin 240^{\circ}$
   $Y = 5(0) + 7\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 9\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}$

   সুতরাং লব্ধির মান,
   $R = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\text{ একক}$

   লব্ধি $BC$-এর দিকের সাথে $\theta$ কোণ তৈরি করলে,
   $\tan\theta = \frac{Y}{X} = \frac{-\sqrt{3}}{-3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
   যেহেতু $X < 0$ এবং $Y < 0$, তাই লব্ধি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
   $\theta = 180^{\circ} + 30^{\circ} = 210^{\circ}$

   উত্তর: লব্ধির মান $2\sqrt{3}$ একক এবং দিক $BC$ রেখার সাথে $210^{\circ}$ কোণে।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-১-এ বলত্রয় ত্রিভুজটির বাহু বরাবর একই ক্রমে (cyclic order: BC, CA, AB) সমান্তরালে ক্রিয়া করছে।

   ধরি, সুষম তক্তাটির দৈর্ঘ্য $AB = 4\text{ m}$ এবং এর ভর $12\text{ kg}$।
   সুষম হওয়ায় তক্তার ওজন $W = 12\text{ kg-wt}$ এর মধ্যবিন্দু $G$-তে খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে।
   অতএব, $AG = GB = 2\text{ m}$।

   একটি খুঁটি $A$ বিন্দুতে এবং অন্যটি $B$ থেকে $1\text{ m}$ ভেতরে $C$ বিন্দুতে অবস্থিত।
   সুতরাং, $BC = 1\text{ m}$ এবং $AC = 4 - 1 = 3\text{ m}$।
   তাহলে, $GC = AC - AG = 3 - 2 = 1\text{ m}$।

   ধরি, বালকের সর্বোচ্চ ওজন $w$। বালকটি $B$ প্রান্তে অবস্থান করলে তক্তাটি $C$ বিন্দুর সাপেক্ষে উল্টে যাওয়ার উপক্রম হবে, অর্থাৎ $A$ বিন্দুতে খুঁটির প্রতিক্রিয়া বল শূন্য ($R_A = 0$) হবে।

   সাম্যাবস্থায় $C$ বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট নিয়ে পাই,
   $W \times GC = w \times BC$
   $12 \times 1 = w \times 1$
   $w = 12\text{ kg-wt}$

   উত্তর: তক্তাটি না উল্টিয়ে $B$ প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন সর্বোচ্চ $12\text{ kg}$ হতে পারবে।