পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির সর্বনিম্ন মান, প্রথম চতুর্থক ($Q_1$), মধ্যমা ($Q_2$), তৃতীয় চতুর্থক ($Q_3$) এবং সর্বোচ্চ মান—এই পাঁচটি গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যাত্মক মানকে একত্রে পাঁচ সংখ্যা সার (Five-Number Summary) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি নিবেশনের $\sqrt{\beta_1} = 1$ বলতে বোঝায় নিবেশনটি ধনাত্মক বঙ্কিম। বঙ্কিমতাঙ্ক $\sqrt{\beta_1}$ এর মান শূন্য হলে নিবেশনটি প্রতিসম হয়। কিন্তু এখানে $\sqrt{\beta_1} = 1 > 0$, যা নির্দেশ করে তথ্যসারির গণসংখ্যা ডানদিকে বেশি বিস্তৃত বা এর ডানদিকের লেজটি বামদিকের লেজের চেয়ে দীর্ঘ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত মানসমূহ: $x_i = 40, 42, 35, 50, 48, 55$
   মোট পর্যবেক্ষণ সংখ্যা, $n = 6$

   গাণিতিক গড়, $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{40 + 42 + 35 + 50 + 48 + 55}{6} = \frac{270}{6} = 45$

   গড় থেকে প্রতিটি মানের ব্যবধান $(x_i - \bar{x})$ এবং তাদের ঘন $(x_i - \bar{x})^3$ নির্ণয় করি:

   • $40 - 45 = -5 \implies (-5)^3 = -125$
   • $42 - 45 = -3 \implies (-3)^3 = -27$
   • $35 - 45 = -10 \implies (-10)^3 = -1000$
   • $50 - 45 = 5 \implies (5)^3 = 125$
   • $48 - 45 = 3 \implies (3)^3 = 27$
   • $55 - 45 = 10 \implies (10)^3 = 1000$

   ব্যবধানের ঘনের সমষ্টি:
   $\sum (x_i - \bar{x})^3 = (-125) + (-27) + (-1000) + 125 + 27 + 1000 = 0$

   অতএব, তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত:
   $\mu_3 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^3}{n} = \frac{0}{6} = 0$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের তথ্যসারির জন্য সূঁচালোতাঙ্ক ($\beta_2$) নির্ণয় করতে দ্বিতীয় এবং চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত প্রয়োজন।

   $(x_i - \bar{x})$ এর মানগুলো হলো: $-5, -3, -10, 5, 3, 10$

   বর্গের সমষ্টি:
   $\sum (x_i - \bar{x})^2 = (-5)^2 + (-3)^2 + (-10)^2 + 5^2 + 3^2 + 10^2 = 25 + 9 + 100 + 25 + 9 + 100 = 268$
   $\therefore \mu_2 = \frac{268}{6} = \frac{134}{3} \approx 44.67$

   চতুর্থ ঘাতের সমষ্টি:
   $\sum (x_i - \bar{x})^4 = (-5)^4 + (-3)^4 + (-10)^4 + 5^4 + 3^4 + 10^4 = 625 + 81 + 10000 + 625 + 81 + 10000 = 21412$
   $\therefore \mu_4 = \frac{21412}{6} = \frac{10706}{3} \approx 3568.67$

   সূঁচালোতাঙ্ক ($\beta_2$):
   $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{21412 / 6}{(268 / 6)^2} = \frac{21412 \times 6}{268^2} = \frac{128472}{71824} \approx 1.789$
   (অথবা প্রশ্নে উল্লিখিত সংকেত $\sqrt{\beta_2} = \sqrt{1.789} \approx 1.338$)

   মন্তব্য:
   যেহেতু $\beta_2 = 1.789 < 3$, সেহেতু নিবেশনটি অনতিসূঁচালো বা চ্যাপ্টাশীর্ষ (Platykurtic)।