$\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx$ = ?

Question

Accepted Answer

গ. $\frac{a^2 \pi}{4}$

ব্যাখ্যা: নির্দিষ্ট যোগজ $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ এর মান নির্ণয়:

১. জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:
$y = \sqrt{a^2 - x^2} \implies x^2 + y^2 = a^2$ (যেখানে $y \ge 0$),
যা $a$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত নির্দেশ করে। সুতরাং, $x = 0$ থেকে $x = a$ সীমার মধ্যে যোগজটির মান বৃত্তটির প্রথম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল প্রকাশ করে।
সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi a^2$
অতএব, প্রথম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{4} \pi a^2 = \frac{a^2 \pi}{4}$।

২. সমাকলন পদ্ধতি:
ধরি, $x = a \sin	heta \implies dx = a \cos	heta \, d	heta$
সীমা: $x = 0$ হলে $	heta = 0$ এবং $x = a$ হলে $	heta = \frac{\pi}{2}$।
$\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 - a^2\sin^2	heta} \cdot a\cos	heta \, d	heta$
$= a^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2	heta \, d	heta = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos 2	heta) \, d	heta$
$= \frac{a^2}{2} \left[ 	heta + \frac{\sin 2	heta}{2} ight]_{0}^{\pi/2} = \frac{a^2}{2} \left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{a^2 \pi}{4}$।

সুতরাং, সঠিক উত্তর অপশন ৩।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন