গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$।

   $n = 20$ হলে, সমষ্টি $= \left(\frac{20 \times 21}{2}\right)^2 = 210^2 = 44100$

   সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি ৪৪,১০০।

2. খ)

   ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$।

   ২৫তম পদ: $a + 24d = 99$ ... (i)
   ৩১তম পদ: $a + 30d = 135$ ... (ii)

   (ii) − (i) করে পাই, $6d = 36 \Rightarrow d = 6$।

   (i) নং এ বসিয়ে, $a + 144 = 99 \Rightarrow a = -45$।

   প্রথম ৪০টি পদের সমষ্টি, $S_{40} = \frac{40}{2}\{2a + (40-1)d\}$

   $= 20\{2 \times (-45) + 39 \times 6\} = 20(-90 + 234) = 20 \times 144 = 2880$

   সুতরাং, প্রথম ৪০টি পদের সমষ্টি ২৮৮০।

3. গ)

   ধরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$।

   ৩য় পদ: $ar^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ... (i)
   ৯ম পদ: $ar^8 = \frac{1}{8\sqrt{2}}$ ... (ii)

   (ii) ÷ (i) করে পাই, $r^6 = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \Rightarrow r^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow r = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$।

   (i) থেকে, $a \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

   $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ হলে ধারাটি: $\sqrt{2} + 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} + \cdots$

   $r = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ হলে ধারাটি: $\sqrt{2} - 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} + \cdots$