পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি বিন্দুর সাথে সংশ্লিষ্ট একটি বাস্তব সংখ্যাকে দৈবচলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সম্ভাবনা বিন্যাস (Probability Distribution) হলো দৈবচলকের বিভিন্ন মান এবং তাদের স্ব-স্ব সম্ভাবনার একটি তালিকা বা সমীকরণ, অর্থাৎ বিচ্ছিন্ন চলকের ক্ষেত্রে P(X = x)। অন্যদিকে, বিন্যাস অপেক্ষক (Distribution Function) বা ক্রমযোজিত সম্ভাবনা অপেক্ষক F(x) হলো চলকের মান একটি নির্দিষ্ট মান x-এর সমান বা তার চেয়ে কম হওয়ার সমষ্টিগত সম্ভাবনা, অর্থাৎ F(x) = P(X ≤ x)। সুতরাং সম্ভাবনা বিন্যাস নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা প্রদান করে আর বিন্যাস অপেক্ষক ক্রমযোজিত সম্ভাবনা নির্দেশ করে, তাই এরা এক নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তিনটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে সম্ভাব্য নমুনাক্ষেত্র S হবে:
   S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
   এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S) = 8।

   x হলো হেডের সংখ্যা নির্দেশকারী দৈবচলক। সুতরাং x-এর সম্ভাব্য মানসমূহ হতে পারে 0, 1, 2, 3।

   • x = 0 (কোনো হেড নেই, অর্থাৎ TTT): অনুকূল ঘটনা = 1টি; সুতরাং P(x = 0) = 1/8
   • x = 1 (১টি হেড, অর্থাৎ HTT, THT, TTH): অনুকূল ঘটনা = 3টি; সুতরাং P(x = 1) = 3/8
   • x = 2 (২টি হেড, অর্থাৎ HHT, HTH, THH): অনুকূল ঘটনা = 3টি; সুতরাং P(x = 2) = 3/8
   • x = 3 (৩টি হেড, অর্থাৎ HHH): অনুকূল ঘটনা = 1টি; সুতরাং P(x = 3) = 1/8

   অতএব, x দৈবচলকের সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ:

   x	0	1	2	3	মোট
   P(x)	1/8	3/8	3/8	1/8	1

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   নিপার বক্তব্য ছিল: P(0 ≤ x ≤ 1) ≠ P(2 ≤ x ≤ 3)

   'গ' হতে প্রাপ্ত সম্ভাবনা বিন্যাস থেকে আমরা পাই:
   P(0 ≤ x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)
   = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2 = 0.5

   এবং,
   P(2 ≤ x ≤ 3) = P(x = 2) + P(x = 3)
   = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2 = 0.5

   এখানে দেখা যাচ্ছে যে,
   P(0 ≤ x ≤ 1) = P(2 ≤ x ≤ 3) = 1/2

   যেহেতু P(0 ≤ x ≤ 1) এবং P(2 ≤ x ≤ 3) এর মান সমান, তাই নিপার মন্তব্য "P(0 ≤ x ≤ 1) ≠ P(2 ≤ x ≤ 3)" সঠিক নয়।