পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যদি কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $X$-এর সম্ভাবনা অপেক্ষক $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$ হয়, যেখানে $x = 0, 1, 2, \dots, \infty$ এবং পরামিতি $\lambda > 0$, তবে সেই চলকের সম্ভাবনা বিন্যাসকে পৈঁসু বিন্যাস (Poisson distribution) বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি পৈঁসু বিন্যাসের গড় 2 এবং ভেদাঙ্ক 3 হতে পারে না— উক্তিটি সঠিক নয় বা অসম্ভব।

   কারণ, পৈঁসু বিন্যাসের একটি অনন্য এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্য হলো এর গড় ও ভেদাঙ্ক পরস্পর সমান এবং তা এর পরামিতির ($\lambda$) সমান। অর্থাৎ,
   গড় = $E(X) = \lambda$
   ভেদাঙ্ক = $V(X) = \lambda$

   সুতরাং, গড় ও ভেদাঙ্কের মান ভিন্ন হওয়া সম্ভব নয়। যেহেতু প্রশ্নে গড় 2 এবং ভেদাঙ্ক 3 উল্লেখ করা হয়েছে, যা পৈঁসু বিন্যাসের মূল বৈশিষ্ট্যের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ, তাই বক্তব্যটি বাস্তবসম্মত বা গ্রহণযোগ্য নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি $\lambda$।
   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}; \quad x = 0, 1, 2, \dots$

   উদ্দীপক অনুসারে,
   $P(X=2) = P(X=3)$
   $\Rightarrow \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$

   উভয়পক্ষ থেকে $e^{-\lambda}$ বাদ দিয়ে এবং বিস্তার করে পাই:
   $\Rightarrow \frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
   $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\lambda}{6}$ (যেহেতু $\lambda > 0$, তাই $\lambda^2$ দ্বারা ভাগ করে)
   $\Rightarrow 2\lambda = 6$
   $\Rightarrow \lambda = 3$

   অতএব, নির্ণেয় পরামিতির মান $\lambda = 3$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ‘গ’ হতে পাই, বিন্যাসটির পরামিতি $\lambda = 3$।

   বঙ্কিমতা পরিমাপ:
   পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতা পরিমাপক:
   $\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$
   যেহেতু $\gamma_1 > 0$, তাই বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (positively skewed)।

   সূঁচলতা পরিমাপ:
   পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচলতা পরিমাপক:
   $\beta_2 = 3 + \frac{1}{\lambda} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$
   অথবা অতিরিক্ত সূঁচলতাঙ্ক, $\gamma_2 = \beta_2 - 3 = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3} \approx 0.33$
   যেহেতু $\beta_2 > 3$ (বা $\gamma_2 > 0$), তাই বিন্যাসটি অতি-সূঁচালো (leptokurtic)।

   গঠন সম্পর্কে মতামত:
   বঙ্কিমতা ও সূঁচলতার মান বিচার করে বলা যায় যে, উদ্দীপকে উল্লেখিত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (অর্থাৎ বিন্যাসের লেখচিত্র ডানদিকে দীর্ঘায়িত) এবং মধ্যম মানের চেয়ে অধিক সূঁচালো বা অতি-সূঁচালো (leptokurtic)।