The isosceles right triangle has a side AC of length 5 cm and PQ shows the arc of a circle centered at A. Find the area of the shaded region given below.

![](https://files.utsaho.bd/v1/files/9af488f4-512f-4c5c-a09e-bac1d1b2f9fb)

Question

The isosceles right triangle has a side AC of length 5 cm and PQ shows the arc of a circle centered at A. Find the area of the shaded region given below.

![](https://files.utsaho.bd/v1/files/9af488f4-512f-4c5c-a09e-bac1d1b2f9fb)

Accepted Answer

ঘ. 2.6825 cm²

ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, $	riangle ABC$ একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ, যার $\angle A = 90^\circ$ এবং $AC = AB = 5	ext{ cm}$।

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল:
$	ext{Area}(	riangle ABC) = \frac{1}{2} 	imes AC 	imes AB = \frac{1}{2} 	imes 5 	imes 5 = 12.5	ext{ cm}^2$

চিত্রানুসারে, বৃত্তচাপ $PQ$-এর কেন্দ্র $A$ বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি অতিভুজ $BC$-কে স্পর্শ করে (অর্থাৎ $BC$ বৃত্তচাপটির স্পর্শক)।
অতএব, $A$ বিন্দু থেকে $BC$ বাহুর লম্ব দূরত্বই হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$:
$r = \frac{AB 	imes AC}{BC} = \frac{5 	imes 5}{\sqrt{5^2 + 5^2}} = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}	ext{ cm}$

যেহেতু $\angle A = 90^\circ$, তাই বৃত্তকলা (sector) $APQ$-এর ক্ষেত্রফল:
$	ext{Area}(APQ) = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} 	imes \pi 	imes \left(\frac{5}{\sqrt{2}}ight)^2 = \frac{25\pi}{8} \approx 9.817477	ext{ cm}^2$

ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল:
$	ext{Area} = 	ext{Area}(	riangle ABC) - 	ext{Area}(APQ) = 12.5 - 9.817477 \approx 2.6825	ext{ cm}^2$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন