গণিত • ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratio) • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২২

গণিত প্রশ্ন

x=sin⁡θ এবং y=cos⁡θP=1+sin⁡A,Q=1−sin⁡A\begin{array}{l} x=\sin \theta \text { এবং } y=\cos \theta \\ P=1+\sin A, Q=1-\sin A \end{array}

  1. ক)

    দেখাও যে, xy1−x2=x\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}} \sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}=\mathrm{x}

    (1)
  2. খ)

    সমাধান কর: 2−5x=x2−y22-5 x=x^{2}-y^{2}, যখন θ\theta সূক্ষ্মকোণ।

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, PQ=1cos⁡ A+1cot⁡ A\sqrt{\frac{P}{Q}}=\frac{1}{\cos \mathrm{~A}}+\frac{1}{\cot \mathrm{~A}}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    দেওয়া আছে, x=sin⁡θx = \sin\theta এবং y=cos⁡θy = \cos\theta।

    বামপক্ষ =xy1−x2=sin⁡θcos⁡θ1−sin⁡2θ=sin⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θ=sin⁡θ=x== \frac{x}{y}\sqrt{1-x^2} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\sqrt{1-\sin^2\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\cos\theta = \sin\theta = x = ডানপক্ষ। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    x2−y2=sin⁡2θ−cos⁡2θ=sin⁡2θ−(1−sin⁡2θ)=2x2−1x^2 - y^2 = \sin^2\theta - \cos^2\theta = \sin^2\theta - (1-\sin^2\theta) = 2x^2 - 1

    সমীকরণ: 2−5x=2x2−12 - 5x = 2x^2 - 1
    ⇒2x2+5x−3=0\Rightarrow 2x^2 + 5x - 3 = 0
    ⇒2x2+6x−x−3=0\Rightarrow 2x^2 + 6x - x - 3 = 0
    ⇒2x(x+3)−1(x+3)=0\Rightarrow 2x(x+3) - 1(x+3) = 0
    ⇒(x+3)(2x−1)=0\Rightarrow (x+3)(2x-1) = 0

    ∴x=−3\therefore x = -3 অথবা x=12x = \frac{1}{2}

    θ\theta সূক্ষ্মকোণ হলে 0<sin⁡θ<10 < \sin\theta < 1, তাই x=−3x = -3 গ্রহণযোগ্য নয়।

    নির্ণেয় সমাধান: x=12x = \frac{1}{2}

  3. গ)

    দেওয়া আছে, P=1+sin⁡AP = 1 + \sin A, Q=1−sin⁡AQ = 1 - \sin A।

    বামপক্ষ =PQ=1+sin⁡A1−sin⁡A=(1+sin⁡A)2(1−sin⁡A)(1+sin⁡A)= \sqrt{\frac{P}{Q}} = \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}} = \sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{(1-\sin A)(1+\sin A)}}
    =(1+sin⁡A)21−sin⁡2A=(1+sin⁡A)2cos⁡2A=1+sin⁡Acos⁡A= \sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{1-\sin^2 A}} = \sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{\cos^2 A}} = \frac{1+\sin A}{\cos A}
    =1cos⁡A+sin⁡Acos⁡A=1cos⁡A+tan⁡A=1cos⁡A+1cot⁡A== \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{1}{\cos A} + \tan A = \frac{1}{\cos A} + \frac{1}{\cot A} = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন