গণিত • সূচক ও লগারিদম (Exponents and Logarithms) • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২২

গণিত প্রশ্ন

a=2, b=3 এবং c=5 \mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=3 \text { এবং } \mathrm{c}=5

  1. ক)

    দেখাও যে, 3n−1(3)n+1=(3)n−1\frac{3^{n}-1}{(\sqrt{3})^{n}+1}=(\sqrt{3})^{n}-1

    (1)
  2. খ)

    সরল কর: an+1⋅ b2n−m⋅cm+n⋅(ab)m(ab)n⋅(ac)m+2⋅(bc)n÷(52)−1\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}+1} \cdot \mathrm{~b}^{2 \mathrm{n}-\mathrm{m}} \cdot \mathrm{c}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}} \cdot(\mathrm{ab})^{\mathrm{m}}}{(\mathrm{ab})^{\mathrm{n}} \cdot(\mathrm{ac})^{\mathrm{m}+2} \cdot(\mathrm{bc})^{\mathrm{n}}} \div\left(5^{2}\right)^{-1}

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর: blog⁡10b+log⁡10a−blog⁡10aclog⁡10(abc)÷32=1\frac{b \log _{10} \sqrt{b}+\log _{10} a-b \log _{10} \sqrt{a c}}{\log _{10}\left(\frac{a b}{c}\right)} \div \frac{3}{2}=1

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    প্রমাণ: 3=(3)23 = (\sqrt{3})^2, তাই 3n={(3)2}n={(3)n}23^n = \{(\sqrt{3})^2\}^n = \{(\sqrt{3})^n\}^2

    বামপক্ষ =3n−1(3)n+1={(3)n}2−12(3)n+1= \dfrac{3^n - 1}{(\sqrt{3})^n + 1} = \dfrac{\{(\sqrt{3})^n\}^2 - 1^2}{(\sqrt{3})^n + 1}

    ={(3)n+1}{(3)n−1}(3)n+1= \dfrac{\{(\sqrt{3})^n + 1\}\{(\sqrt{3})^n - 1\}}{(\sqrt{3})^n + 1}

    =(3)n−1== (\sqrt{3})^n - 1 = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।

  2. খ)

    প্রতিটি মূলের সূচক আলাদাভাবে হিসাব করি।

    aa এর সূচক =(n+1)+m−n−(m+2)=−1= (n+1) + m - n - (m+2) = -1

    bb এর সূচক =(2n−m)+m−n−n=0= (2n - m) + m - n - n = 0

    cc এর সূচক =(m+n)−(m+2)−n=−2= (m + n) - (m + 2) - n = -2

    তাহলে রাশিটি =a−1b0c−2÷(52)−1=a−1c−2×52= a^{-1} b^0 c^{-2} \div (5^2)^{-1} = a^{-1} c^{-2} \times 5^2

    মান বসিয়ে, a=2a = 2, c=5c = 5:

    =12×152×52=12= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{5^2} \times 5^2 = \dfrac{1}{2}

    অতএব, নির্ণেয় মান 12\dfrac{1}{2}।

  3. গ)

    দেওয়া আছে a=2a = 2, b=3b = 3, c=5c = 5।

    প্রশ্নের রাশিটি যেভাবে ছাপা হয়েছে, সে অনুযায়ী লবের সরাসরি মান বসালে ডানপক্ষ ১ হয় না। এর কারণ ছাপার ভুল। প্রশ্নের উদ্দিষ্ট রাশি হলো লবে blog⁡10b+blog⁡10a−blog⁡10cb\log_{10}\sqrt{b} + b\log_{10}\sqrt{a} - b\log_{10}\sqrt{c} এবং হরে log⁡10(abc)\log_{10}\left(\dfrac{ab}{c}\right)। উদ্দিষ্ট রাশি অনুযায়ী প্রমাণ নিচে দেওয়া হলো (এটি b=3b = 3 এর জন্য 32\dfrac{3}{2} দিয়ে ভাগের সাথে মিলে যায়)।

    বামপক্ষ: লব =b2(log⁡10b+log⁡10a−log⁡10c)=b2log⁡10(abc)= \dfrac{b}{2}\left(\log_{10} b + \log_{10} a - \log_{10} c\right) = \dfrac{b}{2}\log_{10}\left(\dfrac{ab}{c}\right)

    সুতরাং লবহর=b2=32\dfrac{\text{লব}}{\text{হর}} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{3}{2}

    অতএব, বামপক্ষ =32÷32=1== \dfrac{3}{2} \div \dfrac{3}{2} = 1 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন