গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   মনে করি, $\triangle ABC$ সমকোণী ত্রিভুজ, যার $\angle B=90^\circ$। প্রমাণ করতে হবে $\angle A+\angle C=90^\circ$।

   ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$, তাই $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$

   বা, $\angle A+\angle C=180^\circ-90^\circ=90^\circ$

   অর্থাৎ সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি $90^\circ$। সুতরাং, তারা পরস্পর পূরক কোণ। (প্রমাণিত)

2. খ)

   চিত্রে $\triangle PQR$ এ $M$ ও $N$ যথাক্রমে $PQ$ ও $PR$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $MN\parallel QR$ এবং $MN=\frac12QR$।

   অঙ্কন: $MN$ কে $D$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $ND=MN$ হয়। $R, D$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle PNM$ ও $\triangle RND$ এ
   $PN=NR$ ($N$ মধ্যবিন্দু), $MN=ND$ (অঙ্কন), $\angle PNM=\angle RND$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

   সুতরাং $\triangle PNM\cong\triangle RND$ (বাহু-কোণ-বাহু)।

   অতএব $RD=PM=MQ$ এবং $\angle NPM=\angle NRD$। এরা একান্তর কোণ, তাই $PQ\parallel RD$, অর্থাৎ $MQ\parallel RD$।

   $MQ$ ও $RD$ সমান ও সমান্তরাল, তাই $MQRD$ একটি সামান্তরিক। সুতরাং $MD\parallel QR$ এবং $MD=QR$।

   $MN=\frac12MD$, তাই $MN\parallel QR$ এবং $MN=\frac12QR$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   $P$ থেকে $QR$ এর উপর লম্ব $PD$ আঁকি। ধরি $PQ>PR$, তাহলে $D$ বিন্দু $S$ ও $R$ এর মধ্যে থাকে। ($PQ=PR$ হলে $D$ ও $S$ একই বিন্দু; তখন $PQ^2=PS^2+QS^2$, ফলে সমীকরণ সহজেই সত্য।)

   সমকোণী $\triangle PDQ$ এ $PQ^2=PD^2+QD^2=PD^2+(QS+SD)^2$ ...(i)

   সমকোণী $\triangle PDR$ এ $PR^2=PD^2+DR^2=PD^2+(SR-SD)^2$ ...(ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $QS=SR$ ($S$ মধ্যবিন্দু) বসিয়ে পাই,

   $PQ^2+PR^2=2PD^2+2QS^2+2SD^2+2QS\cdot SD-2QS\cdot SD$

   $=2(PD^2+SD^2)+2QS^2$

   সমকোণী $\triangle PDS$ এ $PD^2+SD^2=PS^2$, তাই

   $PQ^2+PR^2=2PS^2+2QS^2=2(PS^2+QS^2)$। (প্রমাণিত)