গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $B = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ জোড় সংখ্যা এবং } x < 7\}$

   তালিকা পদ্ধতিতে, $B = \{2, 4, 6\}$

2. খ)

   $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $A = \{2, 3, 5, 7\}$ (৭ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা), $B = \{2, 4, 6\}$।

   $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
   $\therefore (A \cup B)' = U - (A \cup B) = \{1\}$

   $A' = U - A = \{1, 4, 6\}$
   $B' = U - B = \{1, 3, 5, 7\}$
   $\therefore A' \cap B' = \{1\}$

   $\therefore (A \cup B)' = A' \cap B'$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $p^2 = 7 + 4\sqrt{3} = 4 + 3 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2$

   $\therefore p = 2 + \sqrt{3}$ ($p > 0$ ধরে)

   $\dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$

   $\therefore p + \dfrac{1}{p} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

   $p^2 + \dfrac{1}{p^2} = \left(p + \dfrac{1}{p}\right)^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

   $p^3 + \dfrac{1}{p^3} = \left(p + \dfrac{1}{p}\right)^3 - 3\left(p + \dfrac{1}{p}\right) = 64 - 12 = 52$

   এখন, $\left(p^2 + \dfrac{1}{p^2}\right)\left(p^3 + \dfrac{1}{p^3}\right) = p^5 + \dfrac{1}{p^5} + p + \dfrac{1}{p}$

   $\Rightarrow p^5 + \dfrac{1}{p^5} = 14 \times 52 - 4 = 728 - 4 = 724$

   $\therefore p^5 + \dfrac{1}{p^5} = 724$ (দেখানো হলো)