একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে $\frac{50}{\sqrt{3}}$ বর্গ একক ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব x অক্ষের সাথে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।(A straight line creates a triangle of an area of $\frac{50}{\sqrt{3}}$ sq. units with both axes. The perpendicular from the origin upon the line produces an angle of $30^\circ$ with x-axis. Determine the equation of the line.)

Question

Accepted Answer

ঘ. $\sqrt{3}x + y = 10$

ব্যাখ্যা: মূলবিন্দু হতে কোনো রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $p$ এবং লম্বটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\alpha$ কোণ উৎপন্ন করলে রেখাটির অভিলম্ব সমীকরণ:
$$x \cos\alpha + y \sin\alpha = p$$

এখানে, $\alpha = 30^\circ$।
অতএব, 
$$x \cos 30^\circ + y \sin 30^\circ = p$$
$$\implies x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + y \cdot \frac{1}{2} = p$$
$$\implies \sqrt{3}x + y = 2p$$

রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য:
$x$-অক্ষের খণ্ডিতাংশ, $a = \frac{2p}{\sqrt{3}}$
$y$-অক্ষের খণ্ডিতাংশ, $b = 2p$

অক্ষদ্বয়ের সাথে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
$$	ext{Area} = \frac{1}{2} \cdot |a \cdot b| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2p}{\sqrt{3}} \cdot 2p = \frac{2p^2}{\sqrt{3}}$$

প্রশ্নমতে,
$$\frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}$$
$$\implies 2p^2 = 50 \implies p^2 = 25 \implies p = 5 \quad (p > 0)$$

সুতরাং, রেখাটির সমীকরণ:
$$\sqrt{3}x + y = 2(5) = 10$$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন