গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $d:e = 3:2 = 15:10$ এবং $e:f = 5:4 = 10:8$ ($e$ সমান করে)।

   $\therefore d:e:f = 15:10:8$

   $\therefore f:d = \mathbf{8:15}$

2. খ)

   ধরি, $(a-z)a^{-1} = (b-x)b^{-1} = (c-y)c^{-1}$

   $\Rightarrow \frac{a-z}{a} = \frac{b-x}{b} = \frac{c-y}{c}$
   $\Rightarrow 1 - \frac{z}{a} = 1 - \frac{x}{b} = 1 - \frac{y}{c}$
   $\Rightarrow \frac{z}{a} = \frac{x}{b} = \frac{y}{c}$

   মান বসিয়ে, $\frac{z}{x+y} = \frac{x}{y+z} = \frac{y}{z+x}$

   যোগ অনুপাতের নিয়মে প্রতিটি অনুপাত $= \frac{x+y+z}{2(x+y+z)} = \frac{1}{2}$ ($x+y+z \neq 0$)

   $\therefore 2z = x + y$, $2x = y + z$, $2y = z + x$

   প্রথম দুটি বিয়োগ করে: $2z - 2x = x - z \Rightarrow 3z = 3x \Rightarrow z = x$
   একইভাবে $2x - 2y = y - x \Rightarrow x = y$

   $\therefore x = y = z$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{6}{y}$। $y$ দ্বারা গুণ করে, $\frac{y}{m} + \frac{y}{n} = 6 \Rightarrow \frac{y}{3m} + \frac{y}{3n} = 2$

   ধরি $u = \frac{y}{3m}$, $v = \frac{y}{3n}$, তাহলে $u + v = 2$।

   $\frac{y+3m}{y-3m} = \frac{u+1}{u-1}$ এবং $\frac{y+3n}{y-3n} = \frac{v+1}{v-1}$ (লব-হরকে $3m$, $3n$ দ্বারা ভাগ করে)।

   যোগফল $= \frac{(u+1)(v-1) + (v+1)(u-1)}{(u-1)(v-1)} = \frac{2uv - 2}{uv - (u+v) + 1} = \frac{2uv-2}{uv - 1} = \mathbf{2}$