$\int_{\mathrm{e}^{2}}^{\mathrm{e}^{3}} \frac{(\ln \mathrm{x})^{3}}{\mathrm{x}} \mathrm{dx}$ = ?

Question

Accepted Answer

গ. $\frac{65}{4}$

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজটি হলো:
$$\int_{e^{2}}^{e^{3}} \frac{(\ln x)^{3}}{x} \, dx$$

ধরি, $u = \ln x$
সুতরাং, $du = \frac{1}{x} \, dx$

চলকের সীমা রূপান্তর:
- যখন নিম্নসীমা $x = e^{2}$, তখন $u = \ln(e^{2}) = 2$
- যখন ঊর্ধ্বসীমা $x = e^{3}$, তখন $u = \ln(e^{3}) = 3$

এখন সমাকলনটি দাঁড়ায়:
$$\int_{2}^{3} u^{3} \, du = \left[ \frac{u^{4}}{4} \right]_{2}^{3} = \frac{3^{4} - 2^{4}}{4} = \frac{81 - 16}{4} = \frac{65}{4}$$

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো অপশন 3।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন