প্রশ্ন ও সমাধান

(2)
ধারাটির সাধারণ পদ $T_n = \frac{2n+1}{n!}$, যেখানে $n = 0, 1, 2, \dots$ (যাচাই: $n=0 \Rightarrow 1$, $n=1 \Rightarrow \frac{3}{1!}$, $n=2 \Rightarrow \frac{5}{2!}$)।

যোগফল $S = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+1}{n!} = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$

এখানে $\frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!}$, তাই $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!} = e$ এবং $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = e$।

$S = 2e + e = \mathbf{3e}$