উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $u=x^2$ ধরলে $du=2x\,dx$। তাই
   $\int6xe^{x^2}\,dx=3\int e^u\,du=\boxed{3e^{x^2}+C}$। অন্তরজ নিলে $6xe^{x^2}$ ফিরে আসে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $h(x)=\sin x$ থেকে $h(\pi/2-2x)=\cos2x$ ও $h(2x)=\sin2x$। উৎসের বিয়োগচিহ্ন অপরিবর্তিত রাখলে
   $I=\int_0^{\pi/4}\frac{\cos^22x}{\cos^22x-\sin^22x}\,dx=\int_0^{\pi/4}\left(\frac12+\frac12\sec4x\right)dx$।
   $x=\pi/8$-এ হর শূন্য হলেও লব $1/2$; সেখানে একটি প্রকৃত অসীম-বিচ্ছেদ আছে। অ্যান্টিডেরিভেটিভ
   $F(x)=x/2+\tfrac18\ln|\sec4x+\tan4x|$।
   বামপাশের অনুচিত সমাকল $+\infty$ এবং ডানপাশেরটি $-\infty$ হয়। অতএব সাধারণ অনুচিত নির্দিষ্ট সমাকলটি অভিসারী নয়; তার সসীম মান নেই। $+\infty-\infty$-কে বাতিল করে উত্তর লেখা যায় না।
   শুধু আলাদাভাবে সমমিত Cauchy principal value চাইলে তা $\pi/8$; কিন্তু উৎসে principal value বলা নেই। হরের বিয়োগকে যোগ ধরে নিলেও $\pi/8$ পাওয়া যায়, তবে সেটি একটি ঘোষিত ভিন্ন/সংশোধিত প্রশ্ন—মূল সমাকলের মান নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুই পরাবৃত্ত $y^2=8x$ এবং $y=x^2$। ছেদবিন্দুতে $x^4=8x$, অর্থাৎ $x(x^3-8)=0$; তাই বাস্তব ছেদবিন্দু $(0,0)$ ও $(2,4)$। $y=x^2\ge0$ হওয়ায় আবদ্ধ অঞ্চলটি প্রথম চতুর্ভাগে। $0\le x\le2$-এ উপরের বক্ররেখা $y=\sqrt{8x}$ এবং নিচেরটি $y=x^2$।
   সুতরাং ক্ষেত্রফল
   $A=\int_0^2(\sqrt{8x}-x^2)dx$
   $=\left[\frac{2\sqrt8}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^2$
   $=16/3-8/3=\boxed{8/3\text{ বর্গ একক}}$।