উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

sin⁡θ=35\sin \theta=\frac{3}{5} এবং A=π12A=\frac{\pi}{12}

  1. ক)

    দেখাও যে, cos⁡75∘=14(6−2)\cos 75^{\circ}=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})

    (2)
  2. খ)

    cot⁡θ+cos⁡(−θ)cosec⁡(−θ)+tan⁡θ\frac{\cot \theta+\cos (-\theta)}{\operatorname{cosec}(-\theta)+\tan \theta} এর মান নির্ণয় কর; যখন π2<θ<π\frac{\pi}{2}<\theta<\pi হয়।

    (4)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, tanA tan3A tan5A tan7A tan11A=1

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ =cos⁡75∘= \cos 75^\circ
    =cos⁡(45∘+30∘)= \cos (45^\circ + 30^\circ)
    =cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘= \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ
    =12⋅32−12⋅12= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}
    =3−122= \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}
    লব ও হরকে 2\sqrt{2} দ্বারা গুণ করে পাই,
    =(3−1)222⋅2=6−24== \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = ডানপক্ষ। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} এবং π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi
    যেহেতু θ\theta কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, সেহেতু এখানে sin⁡θ\sin\theta ও csc⁡θ\csc\theta ধনাত্মক এবং cos⁡θ,tan⁡θ,cot⁡θ\cos\theta, \tan\theta, \cot\theta ঋণাত্মক হবে।

    cos⁡θ=−1−sin⁡2θ=−1−(35)2=−1−925=−1625=−45\cos\theta = -\sqrt{1 - \sin^2\theta} = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}
    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=35−45=−34\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
    cot⁡θ=1tan⁡θ=−43\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = -\frac{4}{3}
    csc⁡θ=1sin⁡θ=53\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{5}{3}

    আমরা জানি, cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta এবং csc⁡(−θ)=−csc⁡θ\csc(-\theta) = -\csc\theta।

    প্রদত্ত রাশি =cot⁡θ+cos⁡(−θ)csc⁡(−θ)+tan⁡θ= \frac{\cot\theta + \cos(-\theta)}{\csc(-\theta) + \tan\theta}
    =cot⁡θ+cos⁡θ−csc⁡θ+tan⁡θ= \frac{\cot\theta + \cos\theta}{-\csc\theta + \tan\theta}
    =−43+(−45)−53+(−34)= \frac{-\frac{4}{3} + \left(-\frac{4}{5}\right)}{-\frac{5}{3} + \left(-\frac{3}{4}\right)}
    =−43−45−53−34= \frac{-\frac{4}{3} - \frac{4}{5}}{-\frac{5}{3} - \frac{3}{4}}
    =−20−1215−20−912= \frac{\frac{-20 - 12}{15}}{\frac{-20 - 9}{12}}
    =−3215−2912= \frac{-\frac{32}{15}}{-\frac{29}{12}}
    =3215×1229= \frac{32}{15} \times \frac{12}{29}
    =32×45×29=128145= \frac{32 \times 4}{5 \times 29} = \frac{128}{145}

    নির্ণেয় মান: 128145\frac{128}{145}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=π12=180∘12=15∘A = \frac{\pi}{12} = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ

    বামপক্ষ =tan⁡Atan⁡3Atan⁡5Atan⁡7Atan⁡11A= \tan A \tan 3A \tan 5A \tan 7A \tan 11A
    এখানে,
    tan⁡3A=tan⁡(3×15∘)=tan⁡45∘=1\tan 3A = \tan (3 \times 15^\circ) = \tan 45^\circ = 1
    tan⁡5A=tan⁡(5×15∘)=tan⁡75∘\tan 5A = \tan (5 \times 15^\circ) = \tan 75^\circ
    tan⁡7A=tan⁡(7×15∘)=tan⁡105∘=tan⁡(180∘−75∘)=−tan⁡75∘=−tan⁡5A\tan 7A = \tan (7 \times 15^\circ) = \tan 105^\circ = \tan (180^\circ - 75^\circ) = -\tan 75^\circ = -\tan 5A
    tan⁡11A=tan⁡(11×15∘)=tan⁡165∘=tan⁡(180∘−15∘)=−tan⁡15∘=−tan⁡A\tan 11A = \tan (11 \times 15^\circ) = \tan 165^\circ = \tan (180^\circ - 15^\circ) = -\tan 15^\circ = -\tan A

    মানগুলো বসিয়ে পাই,
    বামপক্ষ =tan⁡A⋅1⋅tan⁡5A⋅(−tan⁡5A)⋅(−tan⁡A)= \tan A \cdot 1 \cdot \tan 5A \cdot (-\tan 5A) \cdot (-\tan A)
    =tan⁡2A⋅tan⁡25A= \tan^2 A \cdot \tan^2 5A
    =(tan⁡15∘⋅tan⁡75∘)2= (\tan 15^\circ \cdot \tan 75^\circ)^2
    ={tan⁡15∘⋅tan⁡(90∘−15∘)}2= \{\tan 15^\circ \cdot \tan (90^\circ - 15^\circ)\}^2
    =(tan⁡15∘⋅cot⁡15∘)2= (\tan 15^\circ \cdot \cot 15^\circ)^2
    =(1)2= (1)^2
    =1= 1
    == ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন