গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\sin 3\theta = \cos 3\theta$
   বা, $\dfrac{\sin 3\theta}{\cos 3\theta} = 1$ বা $\tan 3\theta = 1 = \tan 45^\circ$
   বা, $3\theta = 45^\circ$
   সুতরাং $\theta = \mathbf{15^\circ}$

2. খ)

   চিত্র-১ এ $\angle D = 30^\circ$, $\angle ACB = 60^\circ$, $CD = 50$ মিটার এবং $\angle B = 90^\circ$। ($BC = x$ মিটার ধরি।)

   $\triangle ABC$ এ $\tan 60^\circ = \dfrac{AB}{BC}$ বা $AB = \sqrt{3}\,x$ ...... (১)
   $\triangle ABD$ এ $\tan 30^\circ = \dfrac{AB}{BD}$ বা $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{AB}{50 + x}$ বা $AB = \dfrac{50 + x}{\sqrt{3}}$ ...... (২)

   (১) ও (২) থেকে $\sqrt{3}\,x = \dfrac{50 + x}{\sqrt{3}}$
   বা, $3x = 50 + x$ বা $2x = 50$ বা $x = 25$

   (১) এ বসিয়ে, $AB = 25\sqrt{3} \approx \mathbf{43.30}$ মিটার।

3. গ)

   চিত্র-২ এর আকৃতিটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ (লম্ব $8$ মিটার ও ভূমি $12$ মিটার) এবং এর অতিভুজকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত একটি অর্ধবৃত্তের সমন্বয়ে গঠিত। (চিত্র দেখে এরূপ ধরা হলো।)

   ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ বর্গ মিটার

   অতিভুজ $= \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{208}$ মিটার
   অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{\sqrt{208}}{2}$, তাই $r^2 = \dfrac{208}{4} = 52$
   অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}\pi r^2 = \dfrac{1}{2} \times 3.1416 \times 52 = 26\pi \approx 81.68$ বর্গ মিটার

   গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল $= 48 + 26\pi \approx 48 + 81.68 = \mathbf{129.68}$ বর্গ মিটার (প্রায়)