পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের মান শূন্য থেকে অসীম পর্যন্ত হতে পারে এবং যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে, তাকে পৈঁসু চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   না, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি ঋণাত্মক হতে পারে না।
   পৈঁসু বিন্যাসের একমাত্র পরামিতি হলো $\lambda$, যা বিন্যাসের গড় নির্দেশ করে। বিন্যাসটিতে কোনো নির্দিষ্ট সময় বা স্থানে কোনো ঘটনার সংঘটন সংখ্যা পরিমাপ করা হয়, যা কখনোই ঋণাত্মক হতে পারে না। যেহেতু সফলতার গড় সংখ্যা $\lambda = np > 0$, তাই পরামিতি $\lambda$ সর্বদা একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে, ক্রাউন বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা, $p = \frac{1}{20} = 0.05$
   প্রতি প্যাকেটে বাল্বের সংখ্যা, $n = 10$
   অতএব, দ্বিপদী বিন্যাস অনুসারে ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের গড়:
   $\lambda = np = 10 \times 0.05 = 0.5$
   (বা দ্বিপদী বিন্যাস সরাসরি ব্যবহার করলে, $n = 10$, $p = 0.05$, $q = 0.95$)

   দ্বিপদী বিন্যাস ব্যবহার করে:
   $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$
   ২টি বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(X = 2) = {}^{10}C_2 (0.05)^2 (0.95)^8$
   $= 45 \times 0.0025 \times 0.66342$
   $\approx 0.0746$

   (অথবা পৈঁসু বিন্যাস প্রয়োগ করলে: $P(X = 2) = \frac{e^{-0.5} (0.5)^2}{2!} = \frac{0.60653 \times 0.25}{2} \approx 0.0758$)
   দ্বিপদী বিন্যাস অনুযায়ী ২টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব হবার সম্ভাবনা প্রায় $0.0746$ (বা পৈঁসু বিন্যাসে $0.0758$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি প্যাকেটে কোনো ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব না থাকার ঘটনা হলো $X = 0$।

   দ্বিপদী বিন্যাস অনুযায়ী:
   $P(X = 0) = {}^{10}C_0 (0.05)^0 (0.95)^{10} = (0.95)^{10} \approx 0.59874$
   (পৈঁসু বিন্যাস ব্যবহার করলে: $P(X = 0) = \frac{e^{-0.5} (0.5)^0}{0!} = e^{-0.5} \approx 0.60653$)

   অতএব, ২০০০টি প্যাকেটের মধ্যে কোনো ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব না থাকা প্যাকেটের প্রত্যাশিত সংখ্যা:
   $E(N) = 2000 \times P(X = 0) = 2000 \times 0.59874 \approx 1197.48 \approx 1197$
   (পৈঁসু বিন্যাস অনুসারে: $2000 \times 0.60653 \approx 1213$ টি)

   শতকরা হার:
   $\frac{1197}{2000} \times 100\% = 59.87\%$
   যা $50\%$-এর চেয়ে বেশি।

   যেহেতু একটি প্যাকেটে কোনো ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব না থাকার সম্ভাবনা প্রায় $59.87\%$ (বা $60.65\%$), যা $50\%$ এর চেয়ে বেশি, তাই ২০০০টি প্যাকেটের মধ্যে $50\%$ এর বেশি প্যাকেটে কোনো ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব থাকবে না।
   অতএব, রাইসার উক্তিটি যথার্থ।