গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   সমীকরণ দুটি হলো $3x+2y=10$ এবং $2x-3y=2$ (দ্বিতীয়টির ‘=’ চিহ্ন ছাপায় বাদ পড়েছে ধরা হলো)। এখানে $\frac{3}{2}\neq\frac{2}{-3}$, অর্থাৎ $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$; তাই জোটটি সংগত ও স্বতন্ত্র (একটি মাত্র সমাধান আছে)।

2. খ)

   সমীকরণ দুটি: $3x+2y-10=0$ ও $2x-3y-2=0$।

   আড়গুণন পদ্ধতিতে:
   $\frac{x}{2\times(-2)-(-3)\times(-10)}=\frac{y}{(-10)\times 2-(-2)\times 3}=\frac{1}{3\times(-3)-2\times 2}$
   বা, $\frac{x}{-34}=\frac{y}{-14}=\frac{1}{-13}$

   অতএব $x=\frac{34}{13}$, $y=\frac{14}{13}$।

   $3x=\frac{102}{13}$ এবং $3y=\frac{42}{13}$।

   নির্ণেয় মান: $(3x,3y)=\left(\frac{102}{13},\frac{42}{13}\right)$

3. গ)

   ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু নির্ণয়:

   ১. প্রথম রেখা $3x+2y=10$ কে $x$ অক্ষ ($y=0$) ছেদ করে: $3x=10$ বা $x=\frac{10}{3}$। বিন্দু $A\left(\frac{10}{3},0\right)$।

   ২. দ্বিতীয় রেখা $2x-3y=2$ কে $x$ অক্ষ ($y=0$) ছেদ করে: $2x=2$ বা $x=1$। বিন্দু $B(1,0)$।

   ৩. রেখা দুটির ছেদবিন্দু (খ-এর সমাধান থেকে) $C\left(\frac{34}{13},\frac{14}{13}\right)$।

   অতএব ত্রিভুজটির ভূমি $AB$ $x$ অক্ষের ওপর এবং $=\frac{10}{3}-1=\frac{7}{3}$ একক। ভূমির বিপরীত শীর্ষ $C$ থেকে $x$ অক্ষের লম্ব দূরত্ব (উচ্চতা) $=C$ বিন্দুর কোটি $=\frac{14}{13}$ একক।

   ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}=\frac{1}{2}\times\frac{7}{3}\times\frac{14}{13}=\frac{49}{39}$

   নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{49}{39}$ বর্গএকক (প্রায় ১.২৬ বর্গএকক)।