উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$
   $a=1, b=-2, c=1$ হলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
   $x^2 - 2x + 1 = 0$
   নিশ্চয়ক, $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$
   যেহেতু সমীকরণটির নিশ্চয়ক শূন্য, তাই এর মূলদ্বয় বাস্তব, সমান ও মূলদ।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $f(x) = 0 \implies ax^2 + bx + c = 0$
   যেহেতু মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$,
   $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
   $\alpha\beta = \frac{c}{a}$

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $cx^2 - \left(\frac{b^2}{a} - 2c\right)x + c = 0$
   উভয়পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{c}{a}x^2 - \left(\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}\right)x + \frac{c}{a} = 0$
   $\implies \alpha\beta x^2 - \left\{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\right\}x + \alpha\beta = 0$
   $\implies \alpha\beta x^2 - (\alpha^2 + \beta^2)x + \alpha\beta = 0$
   $\implies \alpha\beta x^2 - \alpha^2 x - \beta^2 x + \alpha\beta = 0$
   $\implies \alpha x(\beta x - \alpha) - \beta(\beta x - \alpha) = 0$
   $\implies (\beta x - \alpha)(\alpha x - \beta) = 0$
   $\therefore x = \frac{\alpha}{\beta}$ অথবা $x = \frac{\beta}{\alpha}$
   সুতরাং, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশিত রূপ হলো $\frac{\alpha}{\beta}$ এবং $\frac{\beta}{\alpha}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $a=1, b=-2n, c=n^2-m^2$ হলে,
   $f(x) = 0 \implies x^2 - 2nx + (n^2 - m^2) = 0$
   ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$।
   $\therefore \alpha + \beta = 2n$
   এবং $\alpha\beta = n^2 - m^2$
   মূলদ্বয়ের অন্তরফলের যোগবোধক মান:
   $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{(2n)^2 - 4(n^2 - m^2)} = \sqrt{4m^2} = 2m$

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয় $2n$ এবং $2m$।
   মূলদ্বয়ের যোগফল $= 2n + 2m = 2(n + m)$
   মূলদ্বয়ের গুণফল $= (2n)(2m) = 4mn$

   সুতরাং নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - 2(n + m)x + 4mn = 0$