If ${C}_{r}$ denotes the binomial coefficient ;${ _{ ; }^{ n }{ C } }_{ r }$ then $\left( -1 \right) { C }_{ 0 }^{ 2 }+2{ C }_{ 1 }^{ 2 }+5{ C }_{ 2 }^{ 2 }+......(3n-1){ C }_{ n }^{ 2 }=\quad$

Question

Accepted Answer

খ. $\left( \cfrac { 3n-2 }{ 2 } \right) { _{ }^{ 2n }{ C } }_{ n }$

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, $\sum_{r=0}^{n} C_r^2 = {^{2n}C_n}$ এবং $\sum_{r=0}^{n} r C_r^2 = \frac{n}{2} {^{2n}C_n}$।
প্রদত্ত ধারাটির সাধারণ পদ হলো $(3r - 1)C_r^2$, যেখানে $r = 0, 1, 2, \dots, n$।
অতএব,
$S = \sum_{r=0}^{n} (3r - 1) C_r^2 = 3 \sum_{r=0}^{n} r C_r^2 - \sum_{r=0}^{n} C_r^2$
$= 3 \left( \frac{n}{2} {^{2n}C_n} \right) - {^{2n}C_n}$
$= \left( \frac{3n - 2}{2} \right) {^{2n}C_n}$।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন