উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[201342213],f(x)=x2+3x−51A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}, f(x) = x^2 + 3x - 51

  1. ক)

    বিস্তার না করিয়া প্রমাণ কর যে, ∣∣1aa−22bb−43cc−6∣=0\begin{vmatrix} 1 & a & a-2 \\ 2 & b & b-4 \\ 3 & c & c-6 \end{vmatrix} = 0

    (2)
  2. খ)

    f(A) f(A) নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    A−1A^{-1} নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত নির্ণায়ক,
    D=∣1aa−22bb−43cc−6∣D = \begin{vmatrix} 1 & a & a-2 \\ 2 & b & b-4 \\ 3 & c & c-6 \end{vmatrix}

    কলাম রূপান্তর প্রয়োগ করে, C3′=C3−C2+2C1C_3' = C_3 - C_2 + 2C_1:
    D=∣1a(a−2)−a+2(1)2b(b−4)−b+2(2)3c(c−6)−c+2(3)∣=∣1a02b03c0∣D = \begin{vmatrix} 1 & a & (a - 2) - a + 2(1) \\ 2 & b & (b - 4) - b + 2(2) \\ 3 & c & (c - 6) - c + 2(3) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 2 & b & 0 \\ 3 & c & 0 \end{vmatrix}

    যেহেতু ৩য় কলামের প্রতিটি ভুক্তি শূন্য, সুতরাং নির্ণায়কের মান শূন্য।
    অতএব, বিস্তার না করেই প্রমাণিত হলো যে, নির্ণায়কের মান 00।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=[201342213]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} এবং বহুপদী ফাংশন f(x)=x2+3x−5If(x) = x^2 + 3x - 5I (প্রশ্নে ৫১ সংখ্যাটি মূলত 5I5I):

    A2=A⋅A=[201342213][201342213]A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}
    =[4+0+20+0+12+0+36+12+40+16+23+8+64+3+60+4+32+2+9]=[61522181713713]= \begin{bmatrix} 4+0+2 & 0+0+1 & 2+0+3 \\ 6+12+4 & 0+16+2 & 3+8+6 \\ 4+3+6 & 0+4+3 & 2+2+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 1 & 5 \\ 22 & 18 & 17 \\ 13 & 7 & 13 \end{bmatrix}

    3A=3[201342213]=[6039126639]3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 9 & 12 & 6 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix}

    5I=5[100010001]=[500050005]5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}

    অতএব,
    f(A)=A2+3A−5If(A) = A^2 + 3A - 5I
    =[61522181713713]+[6039126639]−[500050005]= \begin{bmatrix} 6 & 1 & 5 \\ 22 & 18 & 17 \\ 13 & 7 & 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 9 & 12 & 6 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
    =[6+6−51+0−05+3−022+9−018+12−517+6−013+6−07+3−013+9−5]=[718312523191017]= \begin{bmatrix} 6+6-5 & 1+0-0 & 5+3-0 \\ 22+9-0 & 18+12-5 & 17+6-0 \\ 13+6-0 & 7+3-0 & 13+9-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 1 & 8 \\ 31 & 25 & 23 \\ 19 & 10 & 17 \end{bmatrix}

    (উল্লেখ্য, যদি ধ্রুবক পদ ৫১ হিসেবে নেওয়া হয়, তবে 51I51I বিয়োগ করলে ফলাফল হবে [−391831−21231910−29]\begin{bmatrix} -39 & 1 & 8 \\ 31 & -21 & 23 \\ 19 & 10 & -29 \end{bmatrix})।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=[201342213]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}

    নির্ণায়ক ∣A∣|A| এর মান:
    ∣A∣=2(12−2)−0(9−4)+1(3−8)=2(10)−0+1(−5)=20−5=15≠0|A| = 2(12 - 2) - 0(9 - 4) + 1(3 - 8) = 2(10) - 0 + 1(-5) = 20 - 5 = 15 \neq 0
    যেহেতু ∣A∣≠0|A| \neq 0, তাই A−1A^{-1} বিদ্যমান।

    AA এর সহগুণকসমূহ (Cofactors):
    A11=+∣4213∣=12−2=10A_{11} = +\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 12 - 2 = 10
    A12=−∣3223∣=−(9−4)=−5A_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(9 - 4) = -5
    A13=+∣3421∣=3−8=−5A_{13} = +\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5

    A21=−∣0113∣=−(0−1)=1A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1
    A22=+∣2123∣=6−2=4A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4
    A23=−∣2021∣=−(2−0)=−2A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2

    A31=+∣0142∣=0−4=−4A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 0 - 4 = -4
    A32=−∣2132∣=−(4−3)=−1A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(4 - 3) = -1
    A33=+∣2034∣=8−0=8A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 8 - 0 = 8

    অতএব, অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স adj(A)=[101−4−54−1−5−28]\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 10 & 1 & -4 \\ -5 & 4 & -1 \\ -5 & -2 & 8 \end{bmatrix}

    সুতরাং,
    A−1=1∣A∣adj(A)=115[101−4−54−1−5−28]A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{15} \begin{bmatrix} 10 & 1 & -4 \\ -5 & 4 & -1 \\ -5 & -2 & 8 \end{bmatrix}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন