পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • ভেক্টর • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২২

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

দেওয়া আছে, একটি ভেক্টর ক্ষেত্র- A⃗=(6xy+z3)i^+(3x2−z)j^+(3xz2−y)k^\vec{A}=\left(6 x y+z^{3}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}-y\right) \hat{k}

  1. ক)

    কার্ল কী?

    (1)
  2. খ)

    বৈদ্যুতিক পাখার বাতাস কীভাবে নিচে নামে? ব্যাখ্যা করো।

    (2)
  3. গ)

    ( 2, 1 - 1 ) বিন্দুতে A⃗\vec{A} এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় করো ।

    (3)
  4. ঘ)

    গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে দেখাও যে A⃗\vec{A} ভেক্টরটি সলিনয়ডাল নাকি সংরক্ষণশীল হবে?

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ভেক্টর ব্যবকলনীয় অপারেটর ∇⃗\vec{\nabla}-এর সাথে কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ক্রস গুণনকে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেড বা ডানাগুলো অনুভূমিকের সাথে কিছুটা বাঁকানো বা হেলানো অবস্থায় থাকে। পাখা যখন ঘোরে, তখন এই বাঁকানো ডানাগুলো চারপাশের বায়ুর ওপর নিচের দিকে একটি তির্যক ধাক্কা বা ক্রিয়া বল প্রয়োগ করে। নিউটনের গতির তৃতীয় সূত্রানুযায়ী, বাতাসও পাখার ডানার ওপর সমান ও বিপরীতমুখী প্রতিক্রিয়া বল সৃষ্টি করে। এর ফলে বায়ুর স্তরগুলো নিচের দিকে স্থানচ্যুত ও প্রবাহিত হয়ে নিচে নেমে আসে।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A⃗=(6xy+z3)i^+(3x2−z)j^+(3xz2−y)k^\vec{A} = (6xy + z^3)\hat{i} + (3x^2 - z)\hat{j} + (3xz^2 - y)\hat{k}

    A⃗\vec{A} ভেক্টরের ডাইভারজেন্স:
    div A⃗=∇⃗⋅A⃗=∂∂x(6xy+z3)+∂∂y(3x2−z)+∂∂z(3xz2−y)\text{div }\vec{A} = \vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \frac{\partial}{\partial x}(6xy + z^3) + \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - z) + \frac{\partial}{\partial z}(3xz^2 - y)
    =6y+0+6xz= 6y + 0 + 6xz
    =6y+6xz= 6y + 6xz

    অতএব, (2,1,−1)(2, 1, -1) বিন্দুতে ডাইভারজেন্স:
    ∇⃗⋅A⃗∣(2,1,−1)=6(1)+6(2)(−1)=6−12=−6\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\Big|_{(2, 1, -1)} = 6(1) + 6(2)(-1) = 6 - 12 = -6

    অতএব, নির্ণেয় ডাইভারজেন্সের মান −6-6।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    (i) সলিনয়ডাল হওয়ার শর্ত:
    ভেক্টরটি সলিনয়ডাল হবে যদি ∇⃗⋅A⃗=0\vec{\nabla}\cdot\vec{A} = 0 হয়।
    'গ' হতে পাই,
    ∇⃗⋅A⃗=6y+6xz≠0\vec{\nabla}\cdot\vec{A} = 6y + 6xz \neq 0
    যেহেতু ডাইভারজেন্স সর্বত্র শূন্য নয়, তাই ভেক্টরটি সলিনয়ডাল নয়।

    (ii) সংরক্ষণশীল হওয়ার শর্ত:
    ভেক্টরটি সংরক্ষণশীল হবে যদি এর কার্ল শূন্য হয়, অর্থাৎ ∇⃗×A⃗=0⃗\vec{\nabla}\times\vec{A} = \vec{0} হয়।

    ∇⃗×A⃗=∣i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂z6xy+z33x2−z3xz2−y∣\vec{\nabla}\times\vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy+z^3 & 3x^2-z & 3xz^2-y \end{vmatrix}
    =i^[∂∂y(3xz2−y)−∂∂z(3x2−z)]−j^[∂∂x(3xz2−y)−∂∂z(6xy+z3)]+k^[∂∂x(3x2−z)−∂∂y(6xy+z3)]= \hat{i}\left[\frac{\partial}{\partial y}(3xz^2-y) - \frac{\partial}{\partial z}(3x^2-z)\right] - \hat{j}\left[\frac{\partial}{\partial x}(3xz^2-y) - \frac{\partial}{\partial z}(6xy+z^3)\right] + \hat{k}\left[\frac{\partial}{\partial x}(3x^2-z) - \frac{\partial}{\partial y}(6xy+z^3)\right]
    =i^[−1−(−1)]−j^[3z2−3z2]+k^[6x−6x]= \hat{i}[-1 - (-1)] - \hat{j}[3z^2 - 3z^2] + \hat{k}[6x - 6x]
    =i^(0)−j^(0)+k^(0)=0⃗= \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(0) = \vec{0}

    যেহেতু ∇⃗×A⃗=0⃗\vec{\nabla}\times\vec{A} = \vec{0}, সুতরাং A⃗\vec{A} ভেক্টর ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল (অঘূর্ণনশীল)।

    অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে A⃗\vec{A} ভেক্টরটি সলিনয়ডাল নয়, বরং এটি একটি সংরক্ষণশীল ভেক্টর।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন