পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো বস্তুর দুটি ভিন্ন বিন্দুতে প্রযুক্ত সমান মানের, সমান্তরাল এবং পরস্পর বিপরীতমুখী দুটি বলকে দ্বন্দ্ব (বা বলযুগল) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর সমগ্র ভরকে যদি এমন একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত ধরা হয় যাতে মূল বস্তুর জড়তার ভ্রামক এবং কেন্দ্রীভূত বিন্দুভরের জড়তার ভ্রামক সমান হয়, তবে অক্ষ হতে ঐ বিন্দুর লম্ব দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলে।

   কোনো অক্ষের সাপেক্ষে একটি বস্তুর চক্রগতির ব্যাসার্ধ 0.9 m বলতে বোঝায়—বস্তুটির সমগ্র ভরকে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে 0.9 m দূরত্বে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পুঞ্জীভূত বিবেচনা করলে, ঐ অক্ষের সাপেক্ষে পুঞ্জীভূত ভরের জড়তার ভ্রামক মূল বস্তুটির জড়তার ভ্রামকের সমান হবে। অর্থাৎ, বস্তুর ভর M হলে ঐ অক্ষের সাপেক্ষে এর জড়তার ভ্রামক হবে $I = M \times (0.9\text{ m})^2 = 0.81M\text{ kg}\cdot\text{m}^2$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   প্রযুক্ত বল, $\vec{F} = (8\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k})\text{ N}$
   ঘূর্ণন অক্ষ হতে বলের ক্রিয়া বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})\text{ m}$

   টর্কের সংজ্ঞানুসারে,
   $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$

   $\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 8 & 5 & -5 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}[(1)(-5) - (-1)(5)] - \hat{j}[(1)(-5) - (-1)(8)] + \hat{k}[(1)(5) - (1)(8)]$
   $= \hat{i}[-5 + 5] - \hat{j}[-5 + 8] + \hat{k}[5 - 8]$
   $= 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$
   $= (-3\hat{j} - 3\hat{k})\text{ N}\cdot\text{m}$

   প্রযুক্ত টর্কের মান,
   $\tau = |\vec{\tau}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\text{ N}\cdot\text{m} \approx 4.24\text{ N}\cdot\text{m}$

   অতএব, স্ক্রুটি ঘোরানোর সময় প্রযুক্ত টর্কের মান $4.24\text{ N}\cdot\text{m}$ (বা $\text{J}$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   গাড়ির ভর, $m = 2000\text{ kg}$
   ঘটনাস্থলে রাস্তার বাঁকের ব্যাসার্ধ, $r = 5\text{ m}$
   রাস্তার প্রস্থ, $d = 3\text{ m}$
   রাস্তার প্রতি একক ভরে সর্বোচ্চ ঘর্ষণ বল, $\frac{f_s}{m} = 40\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$

   রাস্তায় ঘর্ষণ বলের কারণে গাড়ির সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বেগ $v$ হলে,
   প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল = সর্বোচ্চ ঘর্ষণ বল
   $\frac{m v^2}{r} = f_s$
   $\implies v^2 = \left(\frac{f_s}{m}\right) r = 40 \times 5 = 200\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2}$
   $\implies v = \sqrt{200} \approx 14.14\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$

   গাড়িটি এই সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বেগে নিরাপদে বাঁক নেওয়ার জন্য রাস্তার প্রয়োজনীয় ব্যাংকিং কোণ $\theta$ হলে,
   $\tan\theta = \frac{v^2}{rg}$
   $\implies \tan\theta = \frac{200}{5 \times 9.8} = \frac{40}{9.8} \approx 4.0816$
   $\implies \theta = \tan^{-1}(4.0816) \approx 76.23^\circ$

   রাস্তার ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাহিরের প্রান্তের উচ্চতা $h$ হলে,
   $\sin\theta = \frac{h}{d}$
   $\implies h = d \sin\theta$
   $\implies h = 3 \times \sin(76.23^\circ) \approx 3 \times 0.97125 \approx 2.91\text{ m}$

   [বিশেষ দ্রষ্টব্য: উদ্দীপকে ব্যাসার্ধ $r = 50\text{ m}$ বিবেচিত হলেও $\tan\theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{(f_s/m)r}{rg} = \frac{f_s/m}{g}$ হওয়ায় ব্যাংকিং কোণ এবং উচ্চতা অপরিবর্তিত থাকবে।]

   অতএব, রাস্তাটির ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাহিরের প্রান্ত প্রায় $2.91\text{ m}$ উঁচু হতে হবে।