পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের প্রতিসাম্যতার অভাবকে বা কেন্দ্র থেকে গণসংখ্যার একপাশে হেলে থাকার বৈশিষ্ট্যকে বঙ্কিমতা (Skewness) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের ($\mu_3$) মান ঋণাত্মক হতে পারে।
   আমরা জানি, তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত হলো $\mu_3 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \bar{x})^3$। এটি নিবেশনের বঙ্কিমতার দিক নির্দেশ করে। নিবেশনটি যদি ঋণাত্মক বঙ্কিম হয় (অর্থাৎ বাম দিকে পুচ্ছ দীর্ঘ হয়), তবে গড়ের চেয়ে ছোট মানগুলোর বিচ্যুতি বেশি প্রভাব ফেলে, ফলে তৃতীয় ঘাতের সমষ্টি ঋণাত্মক হয়। তাই তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত ধনাত্মক, শূন্য বা ঋণাত্মক যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে দেওয়া আছে,
   গড়, $\bar{x} = 40$
   মধ্যমা, $Me = 30$
   ২য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত, $\mu_2 = 4$

   কার্ল পিয়ারসনের অভিজ্ঞতালব্ধ সম্পর্কানুসারে,
   $\text{প্রচুরক} (Mo) = 3 \times \text{মধ্যমা} - 2 \times \text{গড়}$
   $\Rightarrow Mo = 3 \times 30 - 2 \times 40$
   $\Rightarrow Mo = 90 - 80 = 10$

   অতএব, বিন্যাসটির প্রচুরক হলো 10।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে দেওয়া আছে,
   গড়, $\bar{x} = 40$
   মধ্যমা, $Me = 30$
   ২য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত (ভেদাঙ্ক), $\mu_2 = \sigma^2 = 4$
   $\therefore$ পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{4} = 2$

   কার্ল পিয়ারসনের বঙ্কিমতাঙ্ক ($SK_p$) মধ্যমার সাহায্যে নির্ণয়ের সূত্র:
   $SK_p = \frac{3(\bar{x} - Me)}{\sigma}$
   মান বসিয়ে পাই,
   $SK_p = \frac{3(40 - 30)}{2} = \frac{3 \times 10}{2} = \frac{30}{2} = 15$

   [বিকল্পভাবে, গ অংশের প্রচুরক $Mo=10$ ব্যবহার করে:
   $SK_p = \frac{\bar{x} - Mo}{\sigma} = \frac{40 - 10}{2} = 15$]

   মন্তব্য:
   যেহেতু বঙ্কিমতাঙ্কের মান $SK_p > 0$ (অর্থাৎ ধনাত্মক 15), সেহেতু উদ্দীপকের নিবেশনটি ধনাত্মক বঙ্কিম (Positively Skewed)। এর অর্থ হলো নিবেশনটির গণসংখ্যার পুচ্ছ বা বিস্তার ডানদিকে দীর্ঘায়িত।