পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের শীর্ষবিন্দুর তীক্ষ্ণতা বা সূচালোতার পরিমাপকে সূঁচালতা (Kurtosis) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\sqrt{\beta_{1}} < 0$ অর্থ বহন করে যে সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা নিবেশনটি ঋণাত্মক বা বামে বঙ্কিম।
   বঙ্কিমতা পরিমাপে কার্ল পিয়ারসনের প্রথম বঙ্কিমতাঙ্ক পরিমাপক হলো $\sqrt{\beta_{1}} = \frac{\mu_{3}}{\sigma^{3}}$। যখন $\mu_{3} < 0$ হয়, তখন $\sqrt{\beta_{1}}$ এর মান ঋণাত্মক হয়। এটি নির্দেশ করে যে নিবেশনটির বাম পাশের প্রান্তীয় অংশ (tail) ডান পাশের প্রান্তীয় অংশের তুলনায় বেশি বিস্তৃত এবং এর গড় < মধ্যমা < প্রচুরক হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   প্রচুরক ($M_o$) = 110
   পরিমিত ব্যবধান ($\sigma$) = 15
   বিভেদাঙ্ক ($CV$) = 12%

   আমরা জানি,
   $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100$
   বা, $12 = \frac{15}{\bar{X}} \times 100$
   বা, $\bar{X} = \frac{1500}{12} = 125$

   অতএব, গাণিতিক গড় ($\bar{X}$) = 125।

   গড়, মধ্যমা ও প্রচুরকের মধ্যকার আনুমানিক সম্পর্ক হতে আমরা জানি,
   গড় - প্রচুরক = 3(গড় - মধ্যমা)
   বা, $\bar{X} - M_o = 3(\bar{X} - M_e)$
   বা, $125 - 110 = 3(125 - M_e)$
   বা, $15 = 375 - 3M_e$
   বা, $3M_e = 375 - 15 = 360$
   বা, $M_e = \frac{360}{3} = 120$

   অতএব, বিন্যাসটির মধ্যমা 120।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ‘গ’ হতে প্রাপ্ত:
   গাণিতিক গড় ($\bar{X}$) = 125
   উদ্দীপক হতে পাই,
   প্রচুরক ($M_o$) = 110
   পরিমিত ব্যবধান ($\sigma$) = 15

   কার্ল পিয়ারসনের বঙ্কিমতাঙ্ক ($SK_p$) নির্ণয়ের সূত্র:
   $SK_p = \frac{\bar{X} - M_o}{\sigma}$
   বা, $SK_p = \frac{125 - 110}{15} = \frac{15}{15} = +1$

   মন্তব্য:
   যেহেতু বঙ্কিমতাঙ্কের মান শূন্যের চেয়ে বড় ($SK_p = +1 > 0$), সেহেতু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (Positively Skewed)। এর অর্থ হলো বিন্যাসটির রেখাচিত্রের ডানদিকের লেজ বামদিকের তুলনায় দীর্ঘতর এবং এখানে গড় > মধ্যমা > প্রচুরক বিদ্যমান।