উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপক-১ এর চিত্রে B এবং B' বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, 1) এবং (0, -1)।

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
   2x² + 3y² = 1
   ⇒ x² / (1/2) + y² / (1/3) = 1

   এখানে, a² = 1/2 ⇒ a = 1/√2 এবং b² = 1/3 ⇒ b = 1/√3।
   যেহেতু a > b,
   অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 2b²/a = (2 × 1/3) / (1/√2) = (2√2)/3 একক।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপক-১ এর চিত্রে B এবং B' বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, 1) এবং (0, -1)।

   উদ্দীপক-১ থেকে পাই,
   বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু A(3, 0) ও A'(-3, 0), ফলে a = 3।
   ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু B(0, 1) ও B'(0, -1), ফলে b = 1।
   যেহেতু a > b:
   ১. উৎকেন্দ্রিকতা, e = √(1 - b²/a²) = √(1 - 1/9) = (2√2)/3
   ২. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = (±ae, 0) = (±3 × (2√2)/3, 0) = (±2√2, 0)
   ৩. নিয়ামকের সমীকরণ: x = ±a/e ⇒ x = ±3 / [(2√2)/3] ⇒ x = ±9/(2√2) বা 2√2x ± 9 = 0।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপক-১ এর চিত্রে B এবং B' বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, 1) এবং (0, -1)।

   উদ্দীপক-২ ও প্রশ্ন থেকে পাই,
   উপকেন্দ্র S = (1, 1)
   নিয়ামকের সমীকরণ: 2x + y - 1 = 0
   উৎকেন্দ্রিকতা e = √3

   অধিবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P(x, y) হলে,
   সংজ্ঞানুসারে, SP = e · PM
   ⇒ SP² = e² · PM²
   ⇒ (x - 1)² + (y - 1)² = (√3)² · [|2x + y - 1| / √(2² + 1²)]²
   ⇒ x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = 3 · [(2x + y - 1)² / 5]
   ⇒ 5(x² + y² - 2x - 2y + 2) = 3(4x² + y² + 4xy - 4x - 2y + 1)
   ⇒ 5x² + 5y² - 10x - 10y + 10 = 12x² + 3y² + 12xy - 12x - 6y + 3
   ⇒ 7x² + 12xy - 2y² - 2x + 4y - 7 = 0

   নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ: 7x² + 12xy - 2y² - 2x + 4y - 7 = 0।