উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, সমান বল দুইটির প্রতিটির মান F এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ α।
   লব্ধি R হলে, R² = F² + F² + 2·F·F·cos α = 2F²(1 + cos α)
   শর্তানুসারে, R² = 3(F · F) = 3F²
   ∴ 2F²(1 + cos α) = 3F²
   ⇒ 1 + cos α = 3/2
   ⇒ cos α = 1/2 = cos 60°
   ∴ α = 60° বা π/3।
   অতএব, বল দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O-তে P, Q, R বলত্রয় যথাক্রমে OA, OB, OC বরাবর ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
   বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হওয়ায়,
   ∠BOC = 2A, ∠COA = 2B, ∠AOB = 2C

   O বিন্দুতে লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
   P / sin 2A = Q / sin 2B = R / sin 2C ... (১)

   ত্রিভুজের সাইন ও কোসাইন সূত্রানুসারে,
   sin 2A = 2 sin A cos A = 2 · (a / 2R') · [(b² + c² - a²) / (2bc)] = a²(b² + c² - a²) / (2R'abc)
   অনুরূপভাবে,
   sin 2B = b²(a² + c² - b²) / (2R'abc)
   sin 2C = c²(a² + b² - c²) / (2R'abc)

   (১) নং সমীকরণে মানগুলো বসিয়ে হর থেকে 2R'abc অপসারণ করে পাই,
   P / [a²(b² + c² - a²)] = Q / [b²(a² + c² - b²)] = R / [c²(a² + b² - c²)] (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে P ও Q মানের অসদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল (P > Q) এবং লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   সমান্তরাল বলের শর্তানুসারে,
   P · CA = Q · CB = Q · (CA + AB)
   ⇒ (P - Q) CA = Q · AB
   ∴ CA = [Q / (P - Q)] AB ... (১)

   বল দুইটি S পরিমাণ বৃদ্ধি পেলে নতুন লব্ধি D বিন্দুতে ক্রিয়া করে:
   (P + S) · DA = (Q + S) · DB = (Q + S) · (DA + AB)
   ⇒ (P - Q) DA = (Q + S) · AB
   ∴ DA = [(Q + S) / (P - Q)] AB ... (২)

   চিত্রানুযায়ী,
   CD = DA - CA = [(Q + S) / (P - Q)] AB - [Q / (P - Q)] AB
   ∴ CD = [S / (P - Q)] AB (দেখানো হলো)।