Find the area of the region between the x -axis and the graph of $f(x)=x^{3}-x^{2}-2 x,-1 \leq x \leq 2$ .

Question

Accepted Answer

গ. $\frac{37}{12}$

ব্যাখ্যা: বক্ররেখাটি এবং $x$-অক্ষের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য প্রথমে $x$-অক্ষের ছেদবিন্দুগুলো (roots) বের করতে হবে:
$$f(x) = x^3 - x^2 - 2x = 0$$
$$\Rightarrow x(x^2 - x - 2) = 0$$
$$\Rightarrow x(x - 2)(x + 1) = 0$$
ছেদবিন্দুগুলো হলো $x = -1, 0, 2$।

১. $[-1, 0]$ ব্যবধিতে $f(x) \ge 0$:
$$A_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^0 = 0 - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 \right) = -\left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{5}{12}$$

২. $[0, 2]$ ব্যবধিতে $f(x) \le 0$:
$$A_2 = -\int_{0}^{2} (x^3 - x^2 - 2x) \, dx = -\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^2 = -\left( 4 - \frac{8}{3} - 4 \right) = \frac{8}{3} = \frac{32}{12}$$

সুতরাং মোট ক্ষেত্রফল:
$$A = A_1 + A_2 = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}$$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন