উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে $A$, $B$ ও $C$।

প্রদত্ত অবস্থান ভেক্টরসমূহ:
$\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{OB} = -\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k}$
$\vec{OC} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$

ত্রিভুজটির বাহুগুলোর ভেক্টর:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (-4\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}) - (-\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k}) = -3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (-4\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}) = 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$

বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$
$|\vec{CA}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 4 + 9} = \sqrt{38}$

যেহেতু $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = \sqrt{38}$, সেহেতু ত্রিভুজটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।

সুতরাং, বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে। (দেখানো হলো)