পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো বৈজ্ঞানিক তত্ত্ব বা গাণিতিক যুক্তি গঠনের ক্ষেত্রে যে স্বতঃসিদ্ধ বিবৃতি বা ধারণাকে কোনো প্রমাণ ছাড়াই প্রাথমিকভাবে সত্য বলে গ্রহণ করে নেওয়া হয়, তাকে স্বীকার্য (Postulate) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কাজ ও টর্কের উভয়ের মাত্রা $[ML^2T^{-2}]$ এবং একক নিউটন-মিটার ($N\cdot m$) হওয়া সত্ত্বেও এরা প্রকৃতিগতভাবে ভিন্ন রাশি।

   ১. কাজ ($W = \vec{F} \cdot \vec{r}$): এটি প্রযুক্ত বল এবং বলের দিকে সরণের স্কেলার গুণফল। কাজের কেবল মান আছে কিন্তু কোনো দিক নেই, তাই কাজ একটি স্কেলার রাশি।
   ২. টর্ক ($\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$): এটি ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টর ও প্রযুক্ত বলের ভেক্টর বা ক্রস গুণফল। টর্কের নির্দিষ্ট মান ও দিক উভয়ই বিদ্যমান (দিকটি ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে তলের লম্ব বরাবর নির্ধারিত হয়), ফলে টর্ক একটি ভেক্টর রাশি।

   অতএব, একটি স্কেলার এবং অন্যটি ভেক্টর রাশি হওয়ায় কাজ ও টর্ক ভিন্ন রাশি।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   পূর্ব দিক ধনাত্মক x-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর $\hat{i}$ এবং উত্তর দিক ধনাত্মক y-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর $\hat{j}$।

   গাড়ির প্রকৃত বেগ, $\vec{v}_c = 40\hat{i}\text{ km/h}$
   গাড়ির চালকের সাপেক্ষে ট্রাকের আপেক্ষিক বেগ, $\vec{v}_{tc} = (2 \times 40)\hat{j} = 80\hat{j}\text{ km/h}$

   আপেক্ষিক বেগের সমীকরণ অনুযায়ী,
   $\vec{v}_{tc} = \vec{v}_t - \vec{v}_c$
   $\implies \vec{v}_t = \vec{v}_{tc} + \vec{v}_c = 40\hat{i} + 80\hat{j}\text{ km/h}$

   ট্রাকের প্রকৃত বেগের মান:
   $v_t = \sqrt{40^2 + 80^2} = \sqrt{1600 + 6400} = \sqrt{8000} \approx 89.44\text{ km/h}$

   যদি ট্রাকটির প্রকৃত গতিপথ পূর্ব দিকের (ধনাত্মক x-অক্ষ) সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে, তবে:
   $\tan\theta = \frac{v_{ty}}{v_{tx}} = \frac{80}{40} = 2$
   $\implies \theta = \tan^{-1}(2) \approx 63.43^\circ$

   অতএব, ট্রাকটি প্রকৃতপক্ষে পূর্ব দিকের সাথে $63.43^\circ$ কোণে উত্তর দিকে (বা উত্তর-পূর্ব দিকে) চলছিল।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, ট্রাক ও গাড়িটির প্রকৃত বেগ যে তলে অবস্থিত তার উল্লম্ব দিকে একটি ভেক্টর নির্ণয় করা সম্ভব।

   গাণিতিক বিশ্লেষণ:
   উদ্দীপক অনুসারে,
   গাড়ির প্রকৃত বেগ, $\vec{v}_c = 40\hat{i}\text{ km/h}$
   'গ' হতে প্রাপ্ত, ট্রাকের প্রকৃত বেগ, $\vec{v}_t = 40\hat{i} + 80\hat{j}\text{ km/h}$

   যেহেতু উভয় ভেক্টরে কেবল $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ উপাংশ রয়েছে এবং কোনো $\hat{k}$ উপাংশ নেই, তাই ভেক্টরদ্বয় $xy$-তলে অবস্থিত।

   আমরা জানি, যেকোনো দুটি অসমরেখ ভেক্টরের ক্রস বা ভেক্টর গুণফল সর্বদা ওই ভেক্টরদ্বয় যে তলে অবস্থিত, তার উল্লম্ব দিকে ক্রিয়া করে।

   অতএব, বেগদ্বয়ের ক্রস গুণফল নির্ণয় করে পাই:
   $\vec{C} = \vec{v}_c \times \vec{v}_t$
   $= (40\hat{i}) \times (40\hat{i} + 80\hat{j})$
   $= 40 \times 40(\hat{i} \times \hat{i}) + 40 \times 80(\hat{i} \times \hat{j})$
   $= 0 + 3200\hat{k}\text{ km}^2/\text{h}^2$
   $= 3200\hat{k}\text{ km}^2/\text{h}^2$

   এখানে প্রাপ্ত ভেক্টর $\vec{C} = 3200\hat{k}$ ধনাত্মক z-অক্ষ বরাবর ক্রিয়াশীল, যা $xy$-তলের উল্লম্ব।

   উক্ত তলের উল্লম্ব দিকে একটি একক ভেক্টর:
   $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{v}_c \times \vec{v}_t}{|\vec{v}_c \times \vec{v}_t|} = \pm \frac{3200\hat{k}}{3200} = \pm \hat{k}$

   যেহেতু ক্রস গুণফল একটি অশূন্য ভেক্টর প্রদান করে, তাই গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হলো যে বেগদ্বয়ের তলের উল্লম্ব দিকে ভেক্টর নির্ণয় করা সম্ভব।