পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • ভেক্টর • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২১

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

চিত্রটি লক্ষ কর এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

  1. ক)

    অবস্থান ভেক্টর কী?

    (1)
  2. খ)

    লম্বাংশের সাহায্যে ভেক্টর রাশির যোজন ব্যাখ্যা কর ।

    (2)
  3. গ)

    ∠BAC\angle \mathrm{BAC} কোণ নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    AB→,BC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}} ও CA→\overrightarrow{\mathrm{CA}} ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকবে কি'না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্দেশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    লম্বাংশের সাহায্যে ভেক্টর রাশির যোজন বলতে একাধিক ভেক্টরকে পরস্পর লম্ব উপাংশে বিভক্ত করে তাদের লব্ধি নির্ণয় করাকে বোঝায়।

    ধরি, কোনো সমতলে একাধিক ভেক্টর P⃗,Q⃗\vec{P}, \vec{Q} ইত্যাদি ক্রিয়াশীল। এই ভেক্টরগুলোকে সুবিধাজনক একটি প্রসঙ্গ কাঠামোর দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ (xx-অক্ষ ও yy-অক্ষ) বরাবর বিভাজিত করা হয়।
    xx-অক্ষ বরাবর ভেক্টরগুলোর উপাংশের বীজগণিতীয় সমষ্টি নিলে লব্ধির xx-উপাংশ পাওয়া যায়, অর্থাৎ Rx=Px+Qx+…R_x = P_x + Q_x + \dots
    একইভাবে yy-অক্ষ বরাবর উপাংশগুলোর সমষ্টি নিলে লব্ধির yy-উপাংশ পাওয়া যায়, অর্থাৎ Ry=Py+Qy+…R_y = P_y + Q_y + \dots
    অতএব, লব্ধির মান হয় R=Rx2+Ry2R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} এবং xx-অক্ষের সাথে এর দিক হয় θ=tan⁡−1(RyRx)\theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right)। এভাবে লম্বাংশের সাহায্যে যেকোনো সংখ্যক ভেক্টরের যোজন সহজভাবে সম্পন্ন করা যায়।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক হতে বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক:
    A(2,−3,4)A(2, -3, 4)
    B(1,2,−5)B(1, 2, -5)
    C(3,3,−2)C(3, 3, -2)

    AA বিন্দুর সাপেক্ষে BB ও CC বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্দেশকারী বাহু ভেক্টরদ্বয়:
    AB⃗=(1−2)i^+(2−(−3))j^+(−5−4)k^=−i^+5j^−9k^\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (2 - (-3))\hat{j} + (-5 - 4)\hat{k} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k}
    AC⃗=(3−2)i^+(3−(−3))j^+(−2−4)k^=i^+6j^−6k^\vec{AC} = (3-2)\hat{i} + (3 - (-3))\hat{j} + (-2 - 4)\hat{k} = \hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}

    AB⃗\vec{AB} ও AC⃗\vec{AC} ভেক্টরের মান:
    ∣AB⃗∣=(−1)2+52+(−9)2=1+25+81=107|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 25 + 81} = \sqrt{107}
    ∣AC⃗∣=12+62+(−6)2=1+36+36=73|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36 + 36} = \sqrt{73}

    ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন থেকে পাই:
    AB⃗⋅AC⃗=(−1)(1)+(5)(6)+(−9)(−6)=−1+30+54=83\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(1) + (5)(6) + (-9)(-6) = -1 + 30 + 54 = 83

    আমরা জানি,
    AB⃗⋅AC⃗=∣AB⃗∣∣AC⃗∣cos⁡(∠BAC)\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos(\angle BAC)
    বা, cos⁡(∠BAC)=AB⃗⋅AC⃗∣AB⃗∣∣AC⃗∣=83107×73=837811≈8388.3798≈0.9391\cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{83}{\sqrt{107} \times \sqrt{73}} = \frac{83}{\sqrt{7811}} \approx \frac{83}{88.3798} \approx 0.9391

    অতএব,
    ∠BAC=cos⁡−1(0.9391)≈20.09∘\angle BAC = \cos^{-1}(0.9391) \approx 20.09^\circ

    উত্তর: ∠BAC≈20.09∘\angle BAC \approx 20.09^\circ বা 0.350.35 rad।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে বিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক A(2,−3,4)A(2, -3, 4), B(1,2,−5)B(1, 2, -5) এবং C(3,3,−2)C(3, 3, -2)।

    সুতরাং ভেক্টর তিনটি নিম্নরূপ:
    AB⃗=(1−2)i^+(2−(−3))j^+(−5−4)k^=−i^+5j^−9k^\vec{AB} = (1 - 2)\hat{i} + (2 - (-3))\hat{j} + (-5 - 4)\hat{k} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 9\hat{k}
    BC⃗=(3−1)i^+(3−2)j^+(−2−(−5))k^=2i^+j^+3k^\vec{BC} = (3 - 1)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (-2 - (-5))\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}
    CA⃗=(2−3)i^+(−3−3)j^+(4−(−2))k^=−i^−6j^+6k^\vec{CA} = (2 - 3)\hat{i} + (-3 - 3)\hat{j} + (4 - (-2))\hat{k} = -\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}

    তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ট্রিপল গুণন শূন্য হবে, অর্থাৎ AB⃗⋅(BC⃗×CA⃗)=0\vec{AB} \cdot (\vec{BC} \times \vec{CA}) = 0।

    এখন নির্ণায়ক পদ্ধতিতে স্কেলার ট্রিপল গুণন নির্ণয় করি:
    AB⃗⋅(BC⃗×CA⃗)=∣−15−9213−1−66∣\vec{AB} \cdot (\vec{BC} \times \vec{CA}) = \begin{vmatrix} -1 & 5 & -9 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & -6 & 6 \end{vmatrix}
    =−1[(1)(6)−(3)(−6)]−5[(2)(6)−(3)(−1)]−9[(2)(−6)−(1)(−1)]= -1[(1)(6) - (3)(-6)] - 5[(2)(6) - (3)(-1)] - 9[(2)(-6) - (1)(-1)]
    =−1[6+18]−5[12+3]−9[−12+1]= -1[6 + 18] - 5[12 + 3] - 9[-12 + 1]
    =−1(24)−5(15)−9(−11)= -1(24) - 5(15) - 9(-11)
    =−24−75+99= -24 - 75 + 99
    =−99+99=0= -99 + 99 = 0

    যেহেতু AB⃗⋅(BC⃗×CA⃗)=0\vec{AB} \cdot (\vec{BC} \times \vec{CA}) = 0 (তাছাড়া এরা একই ত্রিভুজের তিনটি বদ্ধ ক্রমানুসারে বাহু, ফলে AB⃗+BC⃗+CA⃗=0⃗\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}), সুতরাং AB⃗,BC⃗\vec{AB}, \vec{BC} এবং CA⃗\vec{CA} ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকবে।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন