উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: প্রদত্ত সমীকরণটিতে ডানপক্ষ $\tan^{-1}2$ এর স্থলে প্রকৃত গাণিতিক মান $\tan^{-1}3$ (বাংলা ৩ এর স্থলে ২ মুদ্রণজনিত ভুল হতে পারে)।

বামপক্ষ (LHS):
$= \sec^{-1}\sqrt{5} + \frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$

এখানে,
(i) $\sec^{-1}\sqrt{5} = \tan^{-1}\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1} = \tan^{-1}\sqrt{4} = \tan^{-1}2$

(ii) ধরি, $\frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \theta$
$\Rightarrow \sin 2\theta = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow 4 + 4\tan^2\theta = 10\tan\theta$
$\Rightarrow 2\tan^2\theta - 5\tan\theta + 2 = 0$
$\Rightarrow (2\tan\theta - 1)(\tan\theta - 2) = 0$
যেহেতু $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$, তাই $\tan\theta = \frac{1}{2}$
$\therefore \frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

(iii) $\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{10}}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$

অতএব,
$\text{LHS} = \tan^{-1}2 + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
$= \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ [$\because \tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$]
$= \cot^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
$= \tan^{-1}3$

[বি.দ্র.: প্রদত্ত প্রশ্নে $\text{RHS} = \tan^{-1}2$ রয়েছে, যা গাণিতিকভাবে $\tan^{-1}3$ এর সমান। ৩ এর স্থলে ২ মুদ্রণজনিত ত্রুটি। $\text{RHS} = \tan^{-1}3$ হলে প্রমাণিত।]