উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

(a)
প্রদত্ত যোগজ:
$I = \int_{1}^{e^{2}} \frac{dx}{x (1 + \ln x)^{2}}$
ধরি, $1 + \ln x = z$
উভয়পক্ষে অন্তরীকরণ করে,
$\frac{1}{x} dx = dz$
সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 1$, তখন $z = 1 + \ln 1 = 1$
যখন $x = e^2$, তখন $z = 1 + \ln(e^2) = 1 + 2 = 3$

$\therefore I = \int_{1}^{3} \frac{dz}{z^2} = \left[ -\frac{1}{z} \right]_{1}^{3} = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(b)
প্রদত্ত যোগজ:
$I = \int \frac{dx}{x(x^4 - 1)}$
লব ও হরকে $x^3$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$I = \int \frac{x^3 \, dx}{x^4(x^4 - 1)}$
ধরি, $x^4 = u$
$\therefore 4x^3 \, dx = du \implies x^3 \, dx = \frac{du}{4}$
যোগজটিতে মান বসিয়ে পাই,
$I = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u(u - 1)} = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u} \right) du$
$= \frac{1}{4} \left[ \ln|u - 1| - \ln|u| \right] + c$
$= \frac{1}{4} \ln\left|\frac{u - 1}{u}\right| + c$
$u = x^4$ বসিয়ে পাই,
$= \frac{1}{4} \ln\left|\frac{x^4 - 1}{x^4}\right| + c$
(যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)