উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • অন্তরীকরণ • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

f(x)=sin⁡x এবং g(x)=cos⁡x \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} \text { এবং } \mathrm{g}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}

  1. ক)

    lim⁡x→bx92−b92x−b\lim _{x \rightarrow b} \frac{x^{\frac{9}{2}}-b^{\frac{9}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{b}} এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    মূল নিয়মে f(π2−5x)f\left(\frac{\pi}{2}-5 x\right) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    y=g(rsin−1x)\mathrm{y}=\mathrm{g}\left(\mathrm{rsin}^{-1} \mathrm{x}\right) হলে দেখাও যে, (1−x2)y2−xy1+r2y=0\left(1-x^{2}\right) y_{2}-x y_{1}+r^{2} y=0

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত রাশি,
    lim⁡x→bx9/2−b9/2x−b\lim_{x \to b} \frac{x^{9/2} - b^{9/2}}{\sqrt{x} - \sqrt{b}}
    ধরি, x=u\sqrt{x} = u এবং b=a\sqrt{b} = a।
    যখন x→bx \to b, তখন u→au \to a।
    অতএব,
    lim⁡u→au9−a9u−a\lim_{u \to a} \frac{u^9 - a^9}{u - a}
    আমরা জানি, lim⁡y→ayn−any−a=nan−1\lim_{y \to a} \frac{y^n - a^n}{y - a} = n a^{n-1}
    সুতরাং,
    =9a9−1=9a8= 9 a^{9-1} = 9 a^8
    এখন, a=ba = \sqrt{b} বসিয়ে পাই,
    =9(b)8=9(b1/2)8=9b4= 9 (\sqrt{b})^8 = 9 (b^{1/2})^8 = 9b^4।

    নির্ণেয় মান: 9b49b^4।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x
    ∴f(π2−5x)=sin⁡(π2−5x)=cos⁡(5x)\therefore f\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right) = \cos(5x)
    ধরি, F(x)=cos⁡(5x)F(x) = \cos(5x)
    ∴F(x+h)=cos⁡{5(x+h)}=cos⁡(5x+5h)\therefore F(x+h) = \cos\{5(x+h)\} = \cos(5x + 5h)

    মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে,
    ddx[F(x)]=lim⁡h→0F(x+h)−F(x)h\frac{d}{dx}[F(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}
    =lim⁡h→0cos⁡(5x+5h)−cos⁡(5x)h= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(5x + 5h) - \cos(5x)}{h}
    =lim⁡h→0−2sin⁡(5x+5h+5x2)sin⁡(5x+5h−5x2)h= \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{5x + 5h + 5x}{2}\right) \sin\left(\frac{5x + 5h - 5x}{2}\right)}{h}
    =lim⁡h→0−2sin⁡(5x+5h2)sin⁡(5h2)h= \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(5x + \frac{5h}{2}\right) \sin\left(\frac{5h}{2}\right)}{h}
    =−lim⁡h→0sin⁡(5x+5h2)×lim⁡h→0sin⁡(5h2)5h2×5= - \lim_{h \to 0} \sin\left(5x + \frac{5h}{2}\right) \times \lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{5h}{2}\right)}{\frac{5h}{2}} \times 5
    =−sin⁡(5x+0)×1×5= - \sin(5x + 0) \times 1 \times 5
    =−5sin⁡(5x)= -5\sin(5x)।

    অতএব, নির্ণেয় অন্তরজ −5sin⁡(5x)-5\sin(5x)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x
    ∴y=g(rsin⁡−1x)=cos⁡(rsin⁡−1x)\therefore y = g(r \sin^{-1} x) = \cos(r \sin^{-1} x)

    x এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই,
    y1=−sin⁡(rsin⁡−1x)⋅ddx(rsin⁡−1x)y_1 = - \sin(r \sin^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(r \sin^{-1} x)
      ⟹  y1=−sin⁡(rsin⁡−1x)⋅r1−x2\implies y_1 = - \sin(r \sin^{-1} x) \cdot \frac{r}{\sqrt{1-x^2}}
      ⟹  1−x2 y1=−rsin⁡(rsin⁡−1x)\implies \sqrt{1-x^2} \, y_1 = -r \sin(r \sin^{-1} x)

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    (1−x2)y12=r2sin⁡2(rsin⁡−1x)(1 - x^2) y_1^2 = r^2 \sin^2(r \sin^{-1} x)
      ⟹  (1−x2)y12=r2{1−cos⁡2(rsin⁡−1x)}\implies (1 - x^2) y_1^2 = r^2 \{1 - \cos^2(r \sin^{-1} x)\}
    যেহেতু y=cos⁡(rsin⁡−1x)y = \cos(r \sin^{-1} x), সুতরাং,
    (1−x2)y12=r2(1−y2)=r2−r2y2(1 - x^2) y_1^2 = r^2 (1 - y^2) = r^2 - r^2 y^2

    পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    (1−x2)⋅2y1y2+y12(−2x)=0−r2⋅2yy1(1 - x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2 (-2x) = 0 - r^2 \cdot 2y y_1
      ⟹  2y1[(1−x2)y2−xy1]=−2r2yy1\implies 2y_1 \left[ (1 - x^2) y_2 - x y_1 \right] = -2 r^2 y y_1

    যেহেতু y1≠0y_1 \neq 0, উভয়পক্ষকে 2y12y_1 দ্বারা ভাগ করে পাই,
    (1−x2)y2−xy1=−r2y(1 - x^2) y_2 - x y_1 = -r^2 y
      ⟹  (1−x2)y2−xy1+r2y=0\implies (1 - x^2) y_2 - x y_1 + r^2 y = 0। (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন