x=0 x=0 এর জন্য $\int \frac{e^{4 an ^{-1} x}}{\left(1+x^{2} ight)^{2}} d x$ এর মান $\frac{3}{5}$ হলে যোগজীকরণ ধ্রুবক $C$ এর মান কত ?For x=0 x=0 , the value of $\int \frac{e^{4 an ^{-1} x}}{\left(1+x^{2} ight)^{2}} d x$ is $\frac{3}{5}$, what is the value of integrating constant $C$?

Question

x=0 x=0 এর জন্য $\int \frac{e^{4 	an ^{-1} x}}{\left(1+x^{2}ight)^{2}} d x$ এর মান $\frac{3}{5}$ হলে যোগজীকরণ ধ্রুবক $C$ এর মান কত ?For x=0 x=0 , the value of $\int \frac{e^{4 	an ^{-1} x}}{\left(1+x^{2}ight)^{2}} d x$ is $\frac{3}{5}$, what is the value of integrating constant $C$?

Accepted Answer

ঙ. $\frac{3}{8}$

ব্যাখ্যা: ধরি, $I = \int \frac{e^{4 	an^{-1} x}}{(1+x^2)^2} dx$

এখানে, $	an^{-1} x = 	heta$ ধরলে, $x = 	an 	heta$ এবং $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ পাওয়া যায়।
তাহলে,
$$I = \int \frac{e^{4	heta}}{(\sec^2 	heta)^2} \sec^2 	heta \, d	heta = \int e^{4	heta} \cos^2 	heta \, d	heta$$

আমরা জানি, $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$। অতএব,
$$I = \frac{1}{2} \int e^{4	heta} (1 + \cos 2	heta) \, d	heta = \frac{1}{2} \int e^{4	heta} \, d	heta + \frac{1}{2} \int e^{4	heta} \cos 2	heta \, d	heta$$

আদর্শ সূত্র $\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \cos bx + b \sin bx)$ প্রয়োগ করে:
$$I = \frac{1}{8} e^{4	heta} + \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4	heta}}{4^2 + 2^2}(4 \cos 2	heta + 2 \sin 2	heta) + C$$
$$I = \frac{1}{8} e^{4	heta} + \frac{e^{4	heta}}{40}(4 \cos 2	heta + 2 \sin 2	heta) + C$$

প্রশ্নমতে, $x = 0$ এর জন্য $	heta = 	an^{-1}(0) = 0$:
$$I(0) = \frac{1}{8} e^0 + \frac{e^0}{40}(4 \cos 0 + 2 \sin 0) + C = \frac{3}{5}$$
$$\implies \frac{1}{8} + \frac{4}{40} + C = \frac{3}{5}$$
$$\implies \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + C = \frac{3}{5}$$
$$\implies \frac{9}{40} + C = \frac{24}{40}$$
$$\implies C = \frac{24}{40} - \frac{9}{40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$$

সুতরাং, যোগজীকরণ ধ্রুবক $C$ এর মান $\frac{3}{8}$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন