উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $A(2, -3, 1)$ এবং $B(-1, 0, 4)$।

   $A$ ও $B$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে:
   $\vec{OA} = 2\hat{\imath} - 3\hat{\jmath} + \hat{k}$
   $\vec{OB} = -\hat{\imath} + 0\hat{\jmath} + 4\hat{k} = -\hat{\imath} + 4\hat{k}$

   অতএব, $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$
   $= (-\hat{\imath} + 4\hat{k}) - (2\hat{\imath} - 3\hat{\jmath} + \hat{k})$
   $= (-1 - 2)\hat{\imath} - (-3)\hat{\jmath} + (4 - 1)\hat{k}$
   $= -3\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 3\hat{k}$

   সুতরাং, $\vec{AB}$ এর মান:
   $|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{b} = \hat{\imath} - 2\hat{\jmath}$
   $\vec{c} = \hat{\imath} + p\hat{\jmath} + 2\hat{k}$
   এবং $\vec{b}$ ও $\vec{c}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 45^\circ$

   আমরা জানি,
   $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta$

   এখানে,
   $\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-2)(p) + (0)(2) = 1 - 2p$
   $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
   $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + p^2 + 2^2} = \sqrt{1 + p^2 + 4} = \sqrt{p^2 + 5}$

   শর্তমতে,
   $1 - 2p = \sqrt{5} \cdot \sqrt{p^2 + 5} \cdot \cos 45^\circ$
   $\Rightarrow 1 - 2p = \sqrt{5(p^2 + 5)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
   $\Rightarrow \sqrt{2}(1 - 2p) = \sqrt{5p^2 + 25}$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $2(1 - 2p)^2 = 5p^2 + 25$
   $\Rightarrow 2(1 - 4p + 4p^2) = 5p^2 + 25$
   $\Rightarrow 2 - 8p + 8p^2 = 5p^2 + 25$
   $\Rightarrow 3p^2 - 8p - 23 = 0$

   দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
   $p = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(3)(-23)}}{2 \cdot 3}$
   $= \frac{8 \pm \sqrt{64 + 276}}{6}$
   $= \frac{8 \pm \sqrt{340}}{6}$
   $= \frac{8 \pm 2\sqrt{85}}{6}$
   $= \frac{4 \pm \sqrt{85}}{3}$

   যেহেতু মধ্যবর্তী কোণ $45^\circ$ সূক্ষ্মকোণ, তাই ডট গুণন $\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 - 2p > 0$ হতে হবে, অর্থাৎ $p < \frac{1}{2} = 0.5$।
   এখানে, $\frac{4 + \sqrt{85}}{3} \approx \frac{4 + 9.22}{3} = 4.41 > 0.5$ (গ্রহণযোগ্য নয়)
   এবং $\frac{4 - \sqrt{85}}{3} \approx \frac{4 - 9.22}{3} = -1.74 < 0.5$ (গ্রহণযোগ্য)

   অতএব, $p = \frac{4 - \sqrt{85}}{3}$ (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{a} = 2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} - \hat{k}$
   $\vec{d} = 3\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 2\hat{k}$

   $\vec{a}$ এবং $\vec{d}$ যে সমতলে অবস্থিত তার ওপর লম্ব ভেক্টর হলো এদের ক্রস গুণন $\vec{a} \times \vec{d}$।

   $\vec{a} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
   $= \hat{\imath}(6 - 1) - \hat{\jmath}(4 - (-3)) + \hat{k}(-2 - 9)$
   $= 5\hat{\imath} - 7\hat{\jmath} - 11\hat{k}$

   $\vec{a} \times \vec{d}$ এর মান:
   $|\vec{a} \times \vec{d}| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + (-11)^2}$
   $= \sqrt{25 + 49 + 121} = \sqrt{195}$

   সুতরাং, $\vec{a}$ এবং $\vec{d}$ এর সমতলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর:
   $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{d}}{|\vec{a} \times \vec{d}|}$
   $= \pm \frac{5\hat{\imath} - 7\hat{\jmath} - 11\hat{k}}{\sqrt{195}}$ (Ans.)