x এর কোন মানের জন্য $F(x) = \int_0^x \frac{t - 4}{9 - t^2} dt$ ফাংশনটির মান বৃহত্তম হবে?

Question

Accepted Answer

ক. 4

ব্যাখ্যা: ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental Theorem of Calculus বা Leibniz's Rule) অনুযায়ী:
$$F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_0^x \frac{t - 4}{9 - t^2} dt \right] = \frac{x - 4}{9 - x^2}$$

ফাংশনটির মান বৃহত্তম (বা চরম) হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হলো $F'(x) = 0$:
$$\frac{x - 4}{9 - x^2} = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x = 4$$

এখন, দ্বিতীয় অন্তরজ পরীক্ষা (Second Derivative Test) করা যাক:
$$F''(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{x - 4}{9 - x^2} \right] = \frac{1 \cdot (9 - x^2) - (x - 4)(-2x)}{(9 - x^2)^2} = \frac{x^2 - 8x + 9}{(9 - x^2)^2}$$

$x = 4$ বিন্দুতে:
$$F''(4) = \frac{4^2 - 8(4) + 9}{(9 - 4^2)^2} = \frac{16 - 32 + 9}{(-7)^2} = -\frac{7}{49} = -\frac{1}{7} < 0$$

যেহেতু $F''(4) < 0$, তাই $x = 4$ এর জন্য $F(x)$ ফাংশনটির মান বৃহত্তম হবে।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন