△$ riangle A B C, \angle A=105^{\circ}, \angle B=15^{\circ}$ এবং $c=\sqrt{3}-1$ হলে ত্রিভুজের অন্য বাহুদ্বয় এর দৈর্ঘ্য কত ?For △$ riangle A B C, \angle A=105^{\circ}, \angle B=15^{\circ}$ and $c=\sqrt{3}-1$, what is the length of other two sides of the triangle?

Question

△$	riangle A B C, \angle A=105^{\circ}, \angle B=15^{\circ}$ এবং $c=\sqrt{3}-1$ হলে ত্রিভুজের অন্য বাহুদ্বয় এর দৈর্ঘ্য কত ?For △$	riangle A B C, \angle A=105^{\circ}, \angle B=15^{\circ}$ and $c=\sqrt{3}-1$, what is the length of other two sides of the triangle?

Accepted Answer

ঘ. $a=\sqrt{\frac{2}{3}}, b=\sqrt{\frac{2}{3}}(2-\sqrt{3})$

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজ $	riangle ABC$-এ,
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (105^\circ + 15^\circ) = 60^\circ$।

আমরা জানি, সাইন সূত্রানুসারে:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

এখানে,
$\sin C = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin A = \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$
$\sin B = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$
এবং $c = \sqrt{3}-1$।

অতএব,
$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3-1}{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

এবং
$b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{\sqrt{6}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}(2-\sqrt{3})$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন